算子範數是數學中泛函分析里的概念。算子範數衡量的是線性映射或線性算子的「大小」,通常指的是兩個賦范向量空間之間的有界線性映射所構成的空間的範數。
考慮兩個裝備了正則歐幾里德範數的歐幾里德空間:和,其中都是正整數。從映射到的有界線性算子(線性映射)都可以用的矩陣來表示。所以這些算子構成的空間實際上是矩陣空間:,而對應的算子範數也稱為矩陣範數。假設某個線性映射對應的矩陣是,那麼它的矩陣範數是的最大特徵值的平方根,或者說是的最大的奇異值。
對於無限維的賦范空間,常見的例子有平方可加序列空間。其定義為:
給定一個有界數列,考慮從到自身的線性算子:
由於是有界序列,其範數,所以。是連續線性算子(有界算子)。而的算子範數:
類似的例子還有空間之間的映射。例如考慮平方可積函數的空間,設有從映射到的線性算子:
其中f 為給定的有界函數。則是連續線性算子,其算子範數為:
線性算子A的算子範數除了定義為
以外,還可以用以下等價的方式定義[1]:97:
- A的算子範數是A在單位閉球上取值的上確界:
- A的算子範數是A在單位開球上取值的上確界:
- A的算子範數是A在單位球面上取值的上確界:
- A的算子範數是A在E中非零元素上取值和元素範數之比的上確界:
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin 著 Leo F. Boron 譯. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis Volume I: Metric and Normed Spaces. New York: Ghaylock Press. 1957 (英語).