在計算機進行運算時，需要將負數編碼至二進制形式，所用的編碼方法稱為有符號數的表示。
在數學中，可以在任意基數的數前面添加負號「−」來表示負數。然而在隨機存取存儲器和寄存器中，數據均以一系列二進制位表示而沒有額外的標誌，因此需要一種編碼負號的方法。當前有四種方法，用於擴展二進制數字系統，來表示有符號數：原碼（sign-and-magnitude）、反碼（ones' complement）、補碼（two's complement）以及移碼（offset binary，excess-N）。
原碼
| 二進制 | 符號及值 | 無符號 |
|---|---|---|
| 00000000 | +0 | 0 |
| 00000001 | 1 | 1 |
| ... | ... | ... |
| 01111111 | 127 | 127 |
| 10000000 | −0 | 128 |
| 10000001 | −1 | 129 |
| ... | ... | ... |
| 11111111 | −127 | 255 |
符號及值（sign & magnitude）的處理辦法是分配一個符號位（sign bit）來表示這個符號：設置這個位（通常為最高有效位）為0表示一個正數，為1表示一個負數。數字中的其它位指示數值（或者絕對值）。因此一個字節只有7位（除去符號位），數值的範圍從0000000（0）到1111111（127）。這樣當你增加一個符號位（第八位）後，可以表示從−12710到+12710的數字。這種表示法導致的結果就是可以有兩種方式表示零，00000000（0）與10000000（−0），這大大增加數碼電路的複雜性和設計難度。CPU亦須執行兩次比較，來測試運算結果是否為零。
十進制數−43用原碼方法編碼成八位的結果為10101011。
這種方法被直接比較於常用的符號表示法（放置一個「+」或者「−」在數字的數值之前）。一些早期的二進制電腦（例如IBM 7090）使用這種表示法，也許是由於它與通用用途的自然聯繫。原碼是最常用的表示浮點數的方法。IEEE二進位浮點數算術標準（IEEE 754）採用最高有效位作為符號位，因此可表示正負零及正負無限。
反碼
| 二進制值 | 反碼表示 | 無符號數表示 |
|---|---|---|
| 00000000 | +0 | 0 |
| 00000001 | 1 | 1 |
| ... | ... | ... |
| 01111101 | 125 | 125 |
| 01111110 | 126 | 126 |
| 01111111 | 127 | 127 |
| 10000000 | −127 | 128 |
| 10000001 | −126 | 129 |
| 10000010 | −125 | 130 |
| ... | ... | ... |
| 11111110 | −1 | 254 |
| 11111111 | −0 | 255 |
另一方面，一種叫做反碼（ones' complement）的系統也可以用於表示負數（註：正數與原碼形式一樣，無需取反）。一個負數的二進制數反碼形式為其絕對值部分按位取反（即符號位不變，其餘各位按位取反）。同原碼表示一樣，0的反碼表示形式也有兩種：00000000（+0）與11111111（−0）。
例如，原碼10101011（-43）的反碼形式為11010100（−43）。有符號數用反碼表示的範圍為−(2N−1−1)到(2N−1−1)，以及+/−0。一個慣常的八位的字節便是（可表示）−12710到+12710，以及00000000（+0）或者11111111（−0）。
對兩個反碼表示形式的數字做加法，首先需要進行常規的二進制加法，但還需要在和的基礎上加上進位。下面是一個−1加上+2的例子。
二進制 十進制
11111110 -1
+ 00000010 +2
............ ...
1 00000000 0 <-- 錯誤答案
1 +1 <-- 加上進位
............ ...
00000001 1 <-- 正確答案
在上面的例子中，二進制加法僅僅得到了00000000，這是一個錯誤的答案。只有當加上進位時才能得到正確答案（00000001）。
反碼這種數字表示系統通常出現在老式的計算機中；PDP-1，CDC 160A，UNIVAC 1100/2200系列以及其它的一些電腦都使用反碼算術。
關於正字法（orthography）的評述：這個系統之所以被稱作反碼（ones' complement）是因為一個正值x的反（表示為按位非x）也可以通過0的反碼（ones' complement）表示形式（一長串的1，−0）減去x得到。
Internet協議IPv4，ICMP，UDP以及TCP都使用同樣的16位反碼檢驗和算法。雖然大多數計算機缺少「循環進位」硬件，但是這種額外的複雜性是可以接受的，因為「對於所有位（bit）位置上的錯誤都是同樣敏感的」。[1] 在UDP中，全0表示省略了可選的檢驗和特性。另外一種表示：FFFF，指示了0的檢驗和。[2] （在IPv4中，TCP和ICMP都強制性地規定了檢驗和，而在IPv6中可以省略）。
注意負數的反碼只需按位求數值的補碼就可以得到，符號不需要變動。
補碼
| 二進制值 | 補碼表示 | 無符號數表示 |
|---|---|---|
| 00000000 | 0 | 0 |
| 00000001 | 1 | 1 |
| ... | ... | ... |
| 01111110 | 126 | 126 |
| 01111111 | 127 | 127 |
| 10000000 | −128 | 128 |
| 10000001 | −127 | 129 |
| 10000010 | −126 | 130 |
| ... | ... | ... |
| 11111110 | −2 | 254 |
| 11111111 | −1 | 255 |
補碼（two's complement）迴避了0有多種表示的問題以及循環進位的需要。在補碼表示中，負數以位模式表示為正值的反碼加1（當作無符號數）。
在補碼表示中，只有一個0（00000000）。求一個數的補碼（無論是負數還是正數）需要反轉所有位，然後加1。一對補碼整數相加等價於一對無符號數相加（除了溢出檢測，如果能夠做到的話）。比如，從旁邊的表格可以看出，127與−128的補碼表示相加就與無符號數127及128相加具有相同的結果。
從一個正數得到其對應負數的補碼的簡單方法表示如下：
| 例1 | 例2 | |
|---|---|---|
| 1. 從右邊開始，找到第一個'1' | 0101001 | 0101100 |
| 2. 反轉從這個'1'之後開始到最左邊的所有位 | 1010111 | 1010100 |
移碼
移碼（offset binary），是將二進制原碼無符號整數所代表的值，減去一個預設值。
標準移碼，預設值為二進制原碼表示的最大整數的一半。 一個數的標準移碼和補碼，最高位相反，其餘各位均相同。
表示方式
下表列出了 4-bit 二進數所能表示的整數：
- 無符號（unsigned）可表示0到15
- 符號及值（sign & magnitude）可表示-7到+7，包括-0
- 一補碼（ones' complement）可表示-7到+7，包括-0
- 二補碼（two's complement）可表示-8到+7，沒有±0的問題
| 二進數 | 無符號 | 符號位元 | 一補碼 | 二補碼 |
|---|---|---|---|---|
| 0000 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0001 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0010 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 0011 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 0100 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 0101 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 0110 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 0111 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 1000 | 8 | -0 | -7 | -8 |
| 1001 | 9 | -1 | -6 | -7 |
| 1010 | 10 | -2 | -5 | -6 |
| 1011 | 11 | -3 | -4 | -5 |
| 1100 | 12 | -4 | -3 | -4 |
| 1101 | 13 | -5 | -2 | -3 |
| 1110 | 14 | -6 | -1 | -2 |
| 1111 | 15 | -7 | -0 | -1 |
參見
參考資料
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