漸伸線

漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$，其中${\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1}$，曲線A的方程為${\displaystyle t\mapsto r(t)-tr^{\prime }(t)}$。

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$（${\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1}$），則其漸屈線為

${\displaystyle s\to r(s)+{r''(s) \over |r''(s)|^{2}}}$。

每條曲線可有無窮多條漸伸線，但只有一條漸屈線。

漸屈線	漸伸線
懸鏈線	曳物線
圓內螺線／外擺線	相似的圓內螺線／外擺線
擺線	相同的擺線
半立方拋物線	拋物線

參數化曲線

漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:

${\displaystyle X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

範例

圓的漸伸線 (反向, by unwinding)

懸鏈線的漸開線是一個 曳物線。

圓的漸伸線

圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形。

• 在笛卡兒坐標系中，一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

${\displaystyle \,x=a\left(\cos \ t+t\sin \ t\right)}$

${\displaystyle \,y=a\left(\sin \ t-t\cos \ t\right)}$

其中${\displaystyle \,a}$是圓的半徑，${\displaystyle \,t}$為參數

• 在 極坐標系中， ${\displaystyle \,r,\theta }$ 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

${\displaystyle \,r=a\sec \alpha }$

${\displaystyle \,\theta =\tan \alpha -\alpha }$

其中 ${\displaystyle \,a}$ 是圓的半徑 ${\displaystyle \,\alpha }$為參數

通常，一個圓的漸開線常被寫成寫成：

${\displaystyle \,r=a{\sqrt {1+t^{2}}}}$

${\displaystyle \,\theta =\arctan {\frac {\cos t+t\sin t}{\sin t-t\cos t}}}$.

歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用，稱為漸開線齒輪。

懸鏈線的漸開線

一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 ，形成曳物線。 在笛卡兒坐標系中，一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成：

${\displaystyle x=t-\mathrm {tanh} (t)\,}$

${\displaystyle y=\mathrm {sech} (t)\,}$

其中t 是參數，而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))

衍生

用${\displaystyle r(s)=(\sinh ^{-1}(s),\cosh(\sinh ^{-1}(s)))\,}$

我們得到 ${\displaystyle r^{\prime }(s)=(1,s)/{\sqrt {1+s^{2}}}\,}$

且${\displaystyle r(t)-tr^{\prime }(t)=(\sinh ^{-1}(t)-t/{\sqrt {1+t^{2}}},1/{\sqrt {1+t^{2}}})}$。

替代成${\displaystyle t={\sqrt {1-y^{2}}}/y}$

可得到 ${\displaystyle ({\rm {sech}}^{-1}(y)-{\sqrt {1-y^{2}}},y)}$。

擺線的漸開線

一個 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中，一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成：

${\displaystyle x=r(t-\sin(t))\,}$

${\displaystyle y=r(1-\cos(t))\,}$

其中t是角度，r是半徑

參見

• 漸屈線
• 渦旋壓縮機
• 漸開線齒輪

外部連結

• Xah: Special Plane Curves: Involute （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Evolute （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）