曳物線

曳物線（英語：tractrix）是幾何學中的一個曲線。力學意義下，曳物線是指連接一個線段的質點受垂直於初始靜止狀態時線段方向的牽引力作用下的運動軌跡，其笛卡爾坐標系下的最常用的參數方程形式為

曳物線的物理意義

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=l(t-\tanh t)\\y=l(1/\cosh t)\end{matrix}}\right.}$

其中tanh, cosh 分別為雙曲正切函數和雙曲餘弦函數， ${\displaystyle l}$為線段長，${\displaystyle 0\leq t<\infty }$.

曳物線函數曲線對應的常微分方程為：${\displaystyle x^{2}+x^{2}y'^{2}=l^{2}}$.

該微分方程可以用分離變量法解得曳物線的顯化形式 ${\displaystyle x=l\ln({\frac {l+{\sqrt {l^{2}-y^{2}}}}{y}})-{\sqrt {l^{2}-y^{2}}}}$.

歷史

曳物線的英文「tractrix」來源於拉丁語 trahere，其意為「牽拉、拖拽」。1670年，法國數學家克勞德·佩羅（Claude Perrault）首次提出了這種曲線，之後艾薩克·牛頓（1676）和克里斯蒂安·惠更斯(1693)進一步地研究了曳物線^[1], 後者的研究在同時代引發了用曳物線物理原理來製作求對數機器的理論^[2]。1868年，意大利數學家埃烏傑尼奧·貝爾特拉米首次提出曳物線的旋轉曲面是一個具有恆定負高斯曲率的曲面，該曲面也即偽球是雙曲幾何的重要模型。

曳物線的中文別名有追擊線、狗追兔子線。這些名字來自於另一種等價的定義：假設兔子從原點沿 x 軸逃走；狗從 y 軸上一點${\displaystyle (0,l)}$出發追擊兔子。若過程中狗追擊方向始終為狗兔兩者的連線，且兩者距離保持不變，則狗的路線為曳物線。

性質

曳物線的法線形成的包絡線

• 在曳物線的切線上，從切點到切線與漸近線的交點的長度是常數 ${\displaystyle l}$。
• 在曳物線一支上兩點x = x₁ 與 x = x₂間的弧長為 ${\displaystyle l\ln \left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)}$.
• 曳物線與其漸近線所圍的面積為 ${\displaystyle \pi l^{2}/2}$（可用積分法或Mamikon定理求出）。
• 曳物線的所有法線所組成的包絡線（稱為漸屈線）是懸鏈線，其方程為${\displaystyle x=l\cosh {\frac {y}{l}}}$.（見右側動圖）
• 曳物線繞着它的漸近線旋轉一周後形成的旋轉曲面是偽球面（它提供了羅氏幾何的一個基本模型）。
• 與其他曲線不同，曳物線的物理意義使得機械方法可以直接繪製它，並以此為基礎繪製其他曲線，如對數曲線等。

參考

1. Stillwell, John. Mathematics and its history 3rd ed. New York: Springer. 2010. ISBN 1-4419-6053-8. OCLC 663096669. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
2. H.J.M., Bos. "Recognition and Wonder – Huygens, Tractional Motion and Some Thoughts on the History of Mathematics" (PDF). American Mathematical Society. 1989 [2022-12-29]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-25）.