半立方拋物線(cuspidal cubic)是一個參數式如下的平面代數曲線[1]

Thumb
不同a值的半立方拋物線

隱方程英語implicit curve

可以求得y得到以下的式子[1]

三次平面曲線原點有一尖點

若令u = at, X = a2x,且令Y = a3y,可得

這意味著,針對任意的實數a,此曲線都可以位似變換英語homothetic transformationa = 1的曲線,也就是說,不同的a只對應不同的單位長度。

性質

有一種特殊的半立方拋物線,是拋物線漸屈線[2],其方程式為

若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開,可以證明也是半立方拋物線[3]

半立方拋物線的另一個特性是其為等時曲線英語isochrone curve,也就是說一物體在其曲線上,因重力而往下移動,在相同的時間內會移動相同的距離。因此此曲線和等時降線有關,也是物體在不同的位置因重力同時往下移動,會在相同的時間到達最下方。此曲線也和最速降線問題有關,物體沿此軌跡,會從起點以最快速度到達終點[4]

半立方拋物線等時曲線的特性是由雅各布·伯努利為了回答戈特弗里德·萊布尼茨在1687年提出的一個挑戰,在1690年提出此曲線的特性[4]

參考資料

外部連結

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