高斯散度定理

此條目頁的主題是微積分學中的一種向量分析。關於電磁學中與電通量有關的定理，請見「高斯定律」。

高斯公式（Gauss's law），又稱為高斯通量理論（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）^[1]、高斯－奧斯特羅格拉德斯基公式或高－奧公式，是指在向量分析中，一個把向量場通過閉合曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。該定理與斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中兩大重要定理^[2]。

更加精確地說，高斯公式說明向量場穿過曲面的通量，等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地，所有源點的和減去所有匯點的和，就是流出這區域的淨流量。

高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果，特別是靜電學和流體力學。

在物理和工程中，散度定理通常運用在三維空間中。然而，它可以推廣到任意維數。在一維，它等價於分部積分法。

定理

區域V，以帶有法線n的面S = ∂V為邊界。

散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面；散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。

設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區域，函數${\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}$在${\displaystyle \Omega }$上具有一階連續偏導數，則有^[3]

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \Sigma }$${\displaystyle P\,\mathrm {d} y\land \mathrm {d} z+Q\,\mathrm {d} z\land \mathrm {d} x+R\,\mathrm {d} x\land \mathrm {d} y}$

或

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \Sigma }$${\displaystyle (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,\mathrm {d} S}$

這裡${\displaystyle \Sigma }$是${\displaystyle \Omega }$的邊界（boundary），${\displaystyle \cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma }$是${\displaystyle \Sigma }$在點${\displaystyle (x,y,z)}$處的單位法向量的方向餘弦。

這兩個公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 ${\displaystyle \iint _{\Sigma }(P,Q,R)\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$，其中 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是曲面 ${\displaystyle \Sigma }$ 的向外單位法向量。

這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

用散度表示

高斯公式用散度表示為：^[4]

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {F} \,\mathrm {d} v=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \Sigma }$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}$

其中Σ是空間閉區域Ω的邊界曲面，而 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示

令V代表有一簡單閉曲面S為邊界的體積，${\displaystyle \mathbf {F} }$是定義在V中和S上連續可微的向量場。如果${\displaystyle d\mathbf {S} }$是外法向向量面元，則

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} V}$

推論

• 對於標量函數g和向量場F的積，應用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right)\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

• 對於兩個向量場${\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} }$的向量積，應用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right)\,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

• 對於標量函數f和非零常向量的積，應用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=\iint \limits _{\partial V}f\,\mathrm {d} \mathbf {S} }$

• 對於向量場F和非零常向量的向量積，應用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} .}$

例子

例子所對應的向量場。注意，向量可能指向球面的內側或者外側。

假設我們想要計算

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

其中S是一個單位球面，定義為

${\displaystyle S=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.}$

F是向量場

${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}$

直接計算這個積分是相當困難的，但我們可以用高斯公式來把它簡化：

${\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V.}$

其中W是單位球:

${\displaystyle W=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}$

由於函數y和z是奇函數，我們有：

${\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}$

因此：

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,\mathrm {d} V={\frac {8\pi }{3}},}$

因為單位球W的體積是4π/3.

二階張量的高斯公式

二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整，首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量（詳見並矢張量或張量積）以及相關的概念和記號。在這裡，向量和向量場用黑斜體字母表示，張量用正黑體字母表示。

1. 兩個向量${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$並排放在一起所形成的量${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}}$被稱為向量${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$的並矢或並矢張量。要注意，一般來說，${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}\neq {\boldsymbol {ba}}}$。
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}=0}$的充分必要條件是${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=0}$或${\displaystyle {\boldsymbol {b}}=0}$。
3. 二階張量就是有限個並矢的線性組合。
4. ${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}}$分別線性地依賴於${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$。
5. 二階張量${\displaystyle \mathbf {T} }$和向量${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$的縮併${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}}$以及${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} }$對 ${\displaystyle \mathbf {T} }$和${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$都是線性的。
6. 特別是，當${\displaystyle \mathbf {T} ={\boldsymbol {uv}}}$時，

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {a}})\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {uv}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,{\boldsymbol {v}},}$

所以，一般說來，${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}\neq {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} }$。

下面舉一個例子：用二階張量及其與向量的縮併來重新寫${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}$。

${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {a}}=-({\boldsymbol {ab}}-{\boldsymbol {ba}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}=-{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {bc}}-{\boldsymbol {cb}})\,.}$

我們還用到二階張量${\displaystyle \mathbf {T} }$的轉置${\displaystyle \mathbf {T} '}$（又可以記為${\displaystyle \mathbf {T} ^{\mathrm {t} }}$），定義如下：

1. ${\displaystyle \mathbf {T} '}$仍然是一個二階張量，並且線性地依賴於${\displaystyle \mathbf {T} }$。
2. ${\displaystyle ({\boldsymbol {uv}})'={\boldsymbol {vu}}}$。

定理：設 ${\displaystyle V}$是三維歐幾里得空間中的一個有限區域，${\displaystyle S}$是它的邊界曲面，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$是${\displaystyle S}$的外法線方向上的單位向量，${\displaystyle \mathbf {T} }$是定義在${\displaystyle V}$的某個開鄰域上的${\displaystyle C^{1}}$連續的二階張量場，${\displaystyle \mathbf {T} '}$是${\displaystyle \mathbf {T} }$的轉置，則

${\displaystyle \iint _{S}{\hat {\boldsymbol {n}}}\cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} V\,,\qquad \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}$

證明：下面以第二個式子為例進行證明。令第二個式子的左邊為${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$，則

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}{\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S\,.}$

接下來利用向量場的高斯公式，可得

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}=\iiint _{V}\nabla \cdot (T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j})\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V\,,}$

於是

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\,({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}})={\boldsymbol {e}}_{i}\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\boldsymbol {e}}_{i}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}$

至此證畢。

參閱

• 格林定理
• 斯托克斯定理

參考文獻

1. UPSC Combined Geo-Scientist And Geologist exam 2020: Check application process, exam dates, syllabus, paper pattern, other details （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.The Indian Express.September 22, 2019.
2. 提要251：第一個重要的矢量定理--散度定理(Divergence Theorem) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.中華大學.2011-12-22.
3. 同濟大學數學系 編. 高等數學(第六版)(下冊). 北京: 高等教育出版社, 2007
4. 謝樹藝編. 高等學校教材•工程數學:向量分析與場論(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005