並矢張量

在多重線性代數裡，並矢張量(dyadic tensor)是一個以特別標記法寫出的二階張量，是由成對的向量並置形成的。針對這特別標記法，有一套專門計算這種表達式，類似於矩陣代數規則的方法^[1][2]。並矢張量的每一對向量的並置稱為並矢(dyad)。兩個單位基底向量的並矢積稱為單位並矢(unit dyad)。純量與單位並矢的乘積就是並矢。

在這篇文章內，我們把域 ${\displaystyle F\,}$ 上的某個線性空間 ${\displaystyle V\,}$ 中的向量用黑斜體字母來標記，把張量用正黑體字母來標記。

例如，設定兩個三維向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}$ ，

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{1}{\boldsymbol {i}}+v_{2}{\boldsymbol {j}}+v_{3}{\boldsymbol {k}}\,}$ ，

${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=w_{1}{\boldsymbol {i}}+w_{2}{\boldsymbol {j}}+w_{3}{\boldsymbol {k}}\,}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {i}}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {j}}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\,}$，形成了一個三維空間裏的標準正交基的單位基底向量。

那麼，${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 與 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}$ 並置成為

${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}=v_{1}w_{1}{\boldsymbol {ii}}+v_{1}w_{2}{\boldsymbol {ij}}+v_{1}w_{3}{\boldsymbol {ik}}+v_{2}w_{1}{\boldsymbol {ji}}+v_{2}w_{2}{\boldsymbol {jj}}+v_{2}w_{3}{\boldsymbol {jk}}+v_{3}w_{1}{\boldsymbol {ki}}+v_{3}w_{2}{\boldsymbol {kj}}+v_{3}w_{3}{\boldsymbol {kk}}\,}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {ii}}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {ij}}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {ik}}\,}$ 等等，都是單位並矢，${\displaystyle v_{1}w_{1}{\boldsymbol {ii}}\,}$ 、${\displaystyle v_{1}w_{2}{\boldsymbol {ij}}\,}$ 、${\displaystyle v_{1}w_{3}{\boldsymbol {ik}}\,}$ 等等，都是並矢。

並矢張量 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 也可以表達為

${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}={\begin{pmatrix}v_{1}w_{1}&v_{1}w_{2}&v_{1}w_{3}\\v_{2}w_{1}&v_{2}w_{2}&v_{2}w_{3}\\v_{3}w_{1}&v_{3}w_{2}&v_{3}w_{3}\end{pmatrix}}\,}$ 。

定義

根據Morse與Feshbach所著作的權威教科書^[3]，在三維空間裏，並矢張量 ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$ 是一個3×3陣列，其分量 ${\displaystyle A_{mn},\ m,n=1,2,3\,}$ ，當從一個坐標系變換到另外一個坐標系時，遵守協變變換(covariant transformation)的定律。

${\displaystyle A_{ij}'=\sum _{m,n}{\frac {\partial x_{m}}{\partial x_{i}'}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial x_{j}'}}A_{mn}\,}$ ；

其中，${\displaystyle A_{ij}'\,}$ 是變換後的分量。

所以，並矢張量是一個二階協變張量。反過來說，按照這定義推廣，任意二階協變張量都是並矢張量：

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{11}{\boldsymbol {ii}}+A_{12}{\boldsymbol {ij}}+A_{13}{\boldsymbol {ik}}+A_{21}{\boldsymbol {ji}}+A_{22}{\boldsymbol {jj}}+A_{23}{\boldsymbol {jk}}+A_{31}{\boldsymbol {ki}}+A_{32}{\boldsymbol {kj}}+A_{33}{\boldsymbol {kk}}\,}$ 。

並矢張量運算

應用點積，並矢張量 ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$ 可以與向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 綜合在一起：

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{m,n}(A_{mn}{\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n})\cdot \sum _{\ell }(v_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{\ell })\,}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\ell }\,}$ ，都是標準正交基的基底向量。

注意到 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n})\cdot {\boldsymbol {e}}_{\ell }={\boldsymbol {e}}_{m}\delta _{n\ell }\,}$ ；其中，${\displaystyle \delta _{n\ell }\,}$ 是克羅內克函數。所以，

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{m,n}A_{mn}v_{n}{\boldsymbol {e}}_{m}\,}$ ；

這點積運算得到的結果是一個協變向量。

並矢張量的縮併(tensor contraction)運算，將每一個並置 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，替換為兩個單位基底向量的點積 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\cdot {\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，以方程式表達為

${\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{m}A_{m}^{m}\,}$ 。

只成立於三維空間，並矢張量的旋轉因子運算，將每一個並置 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，替換為兩個單位基底向量的叉積 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\times {\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，以方程式表達為

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle ={\boldsymbol {e}}_{1}(A_{23}-A_{32})+{\boldsymbol {e}}_{2}(A_{31}-A_{13})+{\boldsymbol {e}}_{3}(A_{12}-A_{21})\,}$ 。

這也可以表達為 ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$ 與列維-奇維塔符號 ${\displaystyle \epsilon _{imn}\,}$ 的完全縮併：

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{mn}\epsilon _{imn}A_{mn}\,}$ 。

進階理論

兩個向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\,}$ 的並矢積 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 其實就是張量積 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\,}$ 。 兩個並矢積作形式上的相加就是並矢張量，從而並矢張量和二階張量（嚴格地說，是二階的反變張量）是同義詞。力學、電動力學中常見的例子就是單位並矢張量 ${\displaystyle {\mathcal {I}}={\boldsymbol {ii}}+{\boldsymbol {jj}}+{\boldsymbol {kk}}\,}$ 、轉動慣量 ${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint (r^{2}{\mathcal {I}}-{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {r}})\,\rho \,dV\,}$ 以及麥克斯韋應力張量等；量子力學中的角動量耦合(angular momentum coupling)理論也要用到並矢張量。

需要注意：並矢積是不可交換的，也就是說，除非兩個矢量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\,}$ 線性相關，否則一定有 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\neq {\boldsymbol {wv}}\,}$。

在物理學中，並矢張量最重要的應用之一就是它和向量的縮併。對於並矢積 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 和向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\,}$ 的縮併，規定

${\displaystyle ({\boldsymbol {vw}})\cdot {\boldsymbol {u}}:={\boldsymbol {v}}\,({\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,,\qquad {\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {vw}}):=({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {w}}\,}$ 。

如果要求這種規定也適用於量子力學中的態矢量，在這種情況下就要特別注意每個式子右端各個向量的先後順序：用狄拉克符號來寫，則 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\langle u|v\rangle \,}$ 。

進階定義

設 ${\displaystyle V\,}$ 是域 ${\displaystyle F\,}$ 上的一個線性空間，則下述定義是等價的。

定義1. 對於任意 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，稱它們的張量積 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\in V\otimes V\,}$ 為 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}$ 的並矢積並將其簡記為 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ ，稱為並矢張量。更加推廣，稱 ${\displaystyle V\otimes V\,}$ 中的元素為 ${\displaystyle V\,}$ 上的並矢張量，或者二階反變張量。

定義2. 如果有 ${\displaystyle F\,}$ 上的一個線性空間 ${\displaystyle W\,}$ 以及雙線性映射 ${\displaystyle \phi :V\times V\rightarrow W\,}$ 滿足

(1) ${\displaystyle \forall \mathbf {T} \in W\,}$, ${\displaystyle \exists k\in \mathbb {N} \,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}$ 使得

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{k}\phi ({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{i})\,}$ ；

(2) 當 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}$ 線性無關時，${\displaystyle \{\phi ({\boldsymbol {v}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{j})\,|\,i,j=1,\ldots ,k\}\,}$ 是 ${\displaystyle W\,}$ 中的線性無關向量組，

則稱 ${\displaystyle W\,}$ 中的元素為 ${\displaystyle V\,}$ 上的並矢張量或二階反變張量，把 ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})\,}$ 記為 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 。

定義3. ${\displaystyle V\,}$ 上的並矢張量（或者二階反變張量）這個概念可以按照下述規則來建立：

(1) 任意向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}$ 並置擺放形成一個並矢積 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$；

(2) 對於任意的 ${\displaystyle \alpha \in F\,}$ 和任意的 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，規定 ${\displaystyle (\alpha {\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}(\alpha {\boldsymbol {w}})=\alpha ({\boldsymbol {vw}})\,}$ ，並把上述結果不加區分地記作 ${\displaystyle \alpha {\boldsymbol {vw}}\,}$；

(3) 稱有限個並矢積的形式和為一個並矢張量；

(4) 對任意正整數 ${\displaystyle k\,}$，如果 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}$ 線性無關，則 ${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{i}{\boldsymbol {v}}_{j}\,|\,i,j=1,\ldots ,k\}\,}$ 是線性無關向量組——特別是， ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}=0\,}$ 的充分必要條件是 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=0\,}$ 或 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=0\,}$；

(5) 對任意的 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\,}$、${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$、${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V\,}$，成立着分配律

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})={\boldsymbol {uv}}+{\boldsymbol {uw}}\,,\qquad ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {uw}}+{\boldsymbol {vw}}\,}$ 。

註： 所謂形式和，就是說我們既不刻意追究求和的實際含義，也關心求和的結果在哪個集合中，而只是知道這種求和滿足交換律和結合律。

並矢張量與向量的縮併

既然上述定義等價，我們就把 ${\displaystyle V\,}$ 上所有的並矢張量所構成線性空間記為 ${\displaystyle V\otimes V\,}$。在此基礎上，如果 ${\displaystyle V\,}$ 是一個內積空間並把 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}$ 的內積記為 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}\,}$（當 ${\displaystyle F=\mathbb {C} \,}$ 時，約定 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}\,}$ 對 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 是共軛線性的），則定義並矢張量 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 和矢量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 的縮併 ${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$ 都是 ${\displaystyle V\,}$ 中的向量，滿足下述運算律：

(6) 對於任意的 ${\displaystyle \alpha \in F,\,\mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V\,}$，

${\displaystyle (\alpha \mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {T} \cdot (\alpha ^{*}{\boldsymbol {v}})=\alpha (\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}})\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\alpha \mathbf {T} )=(\alpha ^{*}{\boldsymbol {v}})\cdot \mathbf {T} =\alpha ({\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} )\,}$ ，

從而可以把上述兩個結果分別記為 ${\displaystyle \alpha \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle \alpha {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$。在上述公式中，${\displaystyle \alpha ^{*}\,}$ 表示 ${\displaystyle \alpha \,}$ 的複共軛（如果 ${\displaystyle F=\mathbb {C} \,}$）。

(7) 對於任意的 ${\displaystyle \mathbf {S} ,\,\mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V\,}$，總有

${\displaystyle (\mathbf {S} +\mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {S} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\mathbf {S} +\mathbf {T} )={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {S} +{\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$ 。

(8) 對於任意的 ${\displaystyle \mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},\,{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，總有

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {w}}\,,\qquad ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} +{\boldsymbol {w}}\cdot \mathbf {T} \,}$ 。

(9) 對任意的 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}},\,{\boldsymbol {v}},\,{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，總有

${\displaystyle ({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {u}}\,({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}})\,,\qquad {\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {vw}})=({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {w}}\,}$ 。

範例

旋轉

設定 ${\displaystyle \mathbf {M} \,}$ 為一個並矢張量：

${\displaystyle \mathbf {M} ={\boldsymbol {ji}}-{\boldsymbol {ij}}=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)\,}$ 。

${\displaystyle \mathbf {M} \,}$ 是一個二維空間的 90° 旋轉算子 (rotation operator) 。它可以從左邊點積一個向量來產生一個旋轉：

${\displaystyle \mathbf {M} \cdot (x{\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {j}})=({\boldsymbol {ji}}-{\boldsymbol {ij}})\cdot (x{\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {j}})=x{\boldsymbol {ji}}\cdot {\boldsymbol {i}}-x{\boldsymbol {ij}}\cdot {\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {ji}}\cdot {\boldsymbol {j}}-y{\boldsymbol {ij}}\cdot {\boldsymbol {j}}=-y{\boldsymbol {i}}+x{\boldsymbol {j}}\,}$ ；

或以矩陣表達，

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\ -y\\x\end{array}}\right)\,}$ 。

一個一般的二維旋轉並矢張量，會產生 ${\displaystyle \theta \,}$ 角度反時針方向的旋轉，表達為

${\displaystyle \cos \theta \mathbf {I} +\sin \theta \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\ \cos \theta \end{pmatrix}}\,}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {I} ={\boldsymbol {ii}}+{\boldsymbol {jj}}\,}$ 是二維的單位並矢張量。

量子力學

設 ${\displaystyle V\,}$ 是量子力學中所有的角動量本徵態所張成的希爾伯特空間（囊括了所有可能的總角動量量子數 ${\displaystyle 0\,}$，${\displaystyle 1/2\,}$，${\displaystyle 1\,}$，${\displaystyle 3/2\,}$，${\displaystyle \ldots \,}$），則 ${\displaystyle F=\mathbb {C} \,}$。當我們要考慮角動量耦合的時候，就會遇到態矢量的並矢張量 ${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \,}$，而且時常把它記作 ${\displaystyle |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \,}$ 或 ${\displaystyle |j_{1}m_{1},j_{2}m_{2}\rangle \,}$ 等等。任取一些複數 ${\displaystyle C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\,}$（但是其中只能有有限個非零），則

${\displaystyle \sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \,}$

就是一個並矢張量。不妨把這個並矢張量記作 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$，則它和 ${\displaystyle |jm\rangle \,}$ 的縮併就是

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot |jm\rangle =\sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\langle jm|j_{2}m_{2}\rangle \,|j_{1}m_{1}\rangle \,}$，

${\displaystyle |jm\rangle \cdot \mathbf {T} =\sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\langle jm|j_{1}m_{1}\rangle \,|j_{2}m_{2}\rangle \,}$。

在這其中，量子力學中最廣為人知的就是通過CG矢量耦合係數所組合出來的張量。當然，在角動量耦合理論中，這樣的張量被等同為某些角動量本徵態，除了物理上的考慮之外，這更主要地還是有關李群 ${\displaystyle SU(2)\,}$及其李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\,}$ 的表示的另外一個話題，請參看李群表示及李代數的表示 (Lie algebra representation) ，在這裡就不再深入探討了。

實際上可以這樣說，在量子力學中，只要物理問題涉及了系統的耦合，數學上就會導致態矢量的並矢。在這方面，還可以舉一個常見的例子：由一維諧振子的態矢量所構成的並矢張量可以用來描述二維諧振子系統。

經典力學

三維歐幾里得空間上的並矢張量的例子非常多，例如轉動慣量、應力張量、應變等等。這些例子實際上就是並矢張量這個概念的最初原型。

並矢張量的展開

下面我們要說明，前面建議的規則 (1) 到 (9) 足以講清楚二階張量的運算和性質。

考慮 ${\displaystyle V\,}$ 為歐幾里得空間的情形，則 ${\displaystyle V\,}$ 是實數域 ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ 上的有限維線性空間（設 ${\displaystyle \dim V=n\,}$）而且帶有正定的內積。設 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})\,}$ 是 ${\displaystyle V\,}$ 的一個基底，則任意 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$、${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V\,}$ 都可以作線性展開 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$，${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{n}w^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$。在這裡，為了充分演示規則 (1) 到 (9) （見上面的定義3以及並矢張量與向量的縮併）的使用，我們明顯地寫出了求和號而不使用愛因斯坦求和約定。但是，為了簡便，求和的上下限被略去了。

以下運算中，等於號上方的標號是規則的編號。

首先，我們要證明所有的二階張量都能夠用 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 展開。重複地利用規則 (5) 可得

${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}={\Big (}\sum _{i}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big )}{\Big (}\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big )}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}{\Big [}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big ]}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j})\,}$ 。

接下來重複地利用規則 (2) 可得

${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}v^{i}(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 。

這樣，我們就證明了所有的並矢，即形如 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 的張量都能夠寫成 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 的線性組合。接下來，按照規則 (3) 以及上面的結論，所有的二階張量最終都能夠表達為 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 的線性組合。

反之，由規則 (1) 和 (3)，每一個 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 都是一個二階張量，再由規則 (3)，它們的任意線性組合也是二階張量。至此，我們證明了二階張量等價於 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 的線性組合。

然後，從規則 (4) 可以證明，全部的 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 是線性無關的，因此構成了 ${\displaystyle V\otimes V\,}$ 的基底。

最後，利用規則（6）到（9）不難把所有的縮併最終歸結為計算 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})\,{\boldsymbol {e}}_{k}\,}$。特別是，如果所給的基是標準正交基，那麼結果就非常簡單了。

實線性空間上的並矢張量和線性變換互相等同（愛因斯坦指標升降）

對於 ${\displaystyle n\,}$ 維歐幾里得空間 ${\displaystyle V\,}$ 而言，由於 ${\displaystyle F=\mathbb {R} \,}$，規則 (6) 和 (8) 表明，給定任意一個並矢張量 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 之後，從矢量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$（或者 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$）的映射是線性映射，所以，歐幾里得空間上的並矢張量總是對應着它自身上的線性變換。^{[來源請求]}下面要證明，從並矢張量到線性變換的這種對應是滿射。為了準確起見，把 ${\displaystyle \mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 所對應的 ${\displaystyle V\,}$ 上的線性變換分別記為 ${\displaystyle R_{\flat }\mathbf {T} :V\rightarrow V,{\boldsymbol {v}}\mapsto \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle L_{\flat }\mathbf {T} :V\rightarrow V,{\boldsymbol {v}}\mapsto {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$ ， 則有

引理1. 對於歐幾里得空間 ${\displaystyle V\,}$ 上的任意一個線性變換 ${\displaystyle {\hat {T}}:V\rightarrow V\,}$，總是存在着 ${\displaystyle V\,}$ 上的並矢張量 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {T} '\,}$ 使得 ${\displaystyle {\hat {T}}=R_{\flat }\mathbf {T} \,}$, ${\displaystyle {\hat {T}}=L_{\flat }\mathbf {T} '\,}$ 。

證明： 由於證明方法類似，我們只證明 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 的存在性。設 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})\,}$ 是 ${\displaystyle V\,}$ 的一個基底（不必是標準正交基），令

${\displaystyle g_{ij}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ ，

則內積的正定性導致 ${\displaystyle g_{ij}\,}$ 所構成的 ${\displaystyle n\times n\,}$ 矩陣 ${\displaystyle G=(g_{ij})\,}$ 為正定矩陣。給了 ${\displaystyle V\,}$ 上的一個線性變換 ${\displaystyle {\hat {T}}:V\rightarrow V\,}$ 之後，我們可以藉助於基底得到一個矩陣 ${\displaystyle T=(\ T_{\ j}^{i}\ )\,}$，其中，上標號是橫標號，下標號是豎標號：

${\displaystyle {\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ j}^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$ 。

在這裡我們使用了愛因斯坦求和約定。現在我們利用 ${\displaystyle G\,}$ 的逆矩陣

${\displaystyle G^{-1}=(g^{ij})\,,\qquad g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}\,}$ ，

構造一個並矢張量

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{\ j}^{i}g^{jk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\,}$ ，

則

${\displaystyle (R_{\flat }\mathbf {T} ){\boldsymbol {e}}_{j}=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}({\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}\,g_{kj}=T_{\ l}^{i}\delta _{j}^{l}\,{\boldsymbol {e}}_{i}=T_{\ j}^{i}\,{\boldsymbol {e}}_{i}={\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ ，

可見由 ${\displaystyle {\hat {T}}=R_{\flat }\mathbf {T} \,}$ 。

類似地也可以構造一個 ${\displaystyle \mathbf {T} '\in V\otimes V\,}$ ，使之滿足 ${\displaystyle {\hat {T}}=L_{\flat }\mathbf {T} '\,}$ 。事實上，還可以證明 ${\displaystyle \mathbf {T} '\,}$ 是 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 的轉置——用基底來展開，就是說

${\displaystyle \mathbf {T} '=T_{\ j}^{i}g^{jk}\,{\boldsymbol {e}}_{k}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$ 。

結論證畢。

把 ${\displaystyle n\,}$ 維歐幾里得空間 ${\displaystyle V\,}$ 上的所有的線性映射所構成的線性空間記為 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)\,}$，則後者的維數為 ${\displaystyle n^{2}\,}$. 由並矢張量和向量的縮併中的規則 (6) 和 (7) 不難得到

引理2. 映射 ${\displaystyle R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V),\mathbf {T} \mapsto R_{\flat }\mathbf {T} \,}$ 和 ${\displaystyle L_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V),\mathbf {T} \mapsto L_{\flat }\mathbf {T} \,}$ 都是線性映射。^{[來源請求]}

前面已經分析過，

${\displaystyle \dim(V\otimes V)=n^{2}\,}$ 。

根據引理2和引理1，我們就得到了

定理 映射 ${\displaystyle R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)\,}$ 和 ${\displaystyle L_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)\,}$ 都是線性同構。

這就是說，對於歐幾里得空間來說，它上面的並矢張量和線性變換可以互相等同。一般說來，用 ${\displaystyle R_{\flat }\,}$ 作等同比較自然些。這種等同就是愛因斯坦在相對論中用所引入的指標升降法(儘管其中的線性空間是閔可夫斯基空間，但是方法是相似的)。具體來說，並矢張量是具有兩個上指標的二階反變張量，而線性變換則是一階協變一階反變的張量，${\displaystyle R_{\flat }\,}$ 就是用度規張量把二階反變張量的右指標降下來，而 ${\displaystyle L_{\flat }\,}$ 則是把左邊的反變指標降下來。

特別是，當 ${\displaystyle {\hat {T}}\,}$ 為恆等映射時，${\displaystyle T_{\ j}^{i}=\delta _{j}^{i}\,}$，從而得到

推論 把 ${\displaystyle V\,}$ 上的單位張量（這是經典力學中的叫法，在相對論中則常常被稱為度規張量的逆）定義為與恆等映射相對應的那個並矢張量（不管是 ${\displaystyle R_{\flat }\,}$ 還是 ${\displaystyle L_{\flat }\,}$，結果都一樣），則它可以藉助於基底展開為 ${\displaystyle g^{ij}{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 。

在上述討論過程中我們實際上沒有真正用到內積的正定性，而真正實質性的條件有兩點：（1）${\displaystyle F=\mathbb {R} \,}$；（2）${\displaystyle G=(g_{ij})\,}$ 可逆。所以歐幾里德空間可以放鬆為 ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ 上帶有一個非退化的對稱雙線性型的線性空間。相對論中所用到的閔可夫斯基空間就是這樣的。

參見條目

• 並矢積
• 張量積
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量^{[錨點失效]}
• 線性空間

參考文獻

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