在數學中,特別是在泛函分析中,投影值測度是一種映射,其將給定集合的特定子集映射為給定的希爾伯特空間上的一個自伴投影算子。 投影值測度 (projection-valued measure, PVM) 在形式上類似於實值測度,不過其值是自伴投影而不是實數。與普通測度一樣,也可以關於PVM進行復值函數的積分;這種積分的結果是給定希爾伯特空間上的線性算子。
投影值測度用於表達譜理論中的結果,例如自伴算子的譜定理,在這種情況下 PVM 有時被稱為譜測度。自伴算子的博雷爾函數演算是通過關於 PVM 的積分構造的。在量子力學中,PVM 提供了投影測量的數學表述,它們可推廣為正算子值測度(POVM),正如混合態或密度矩陣推廣了純態的概念一樣。
設 是一可分復希爾伯特空間,而 是一(博雷爾)可測空間,其中 是一集合而 是 上的博雷爾σ-代數。投影值測度 是定義於 上、而取值為 上有界自伴算子的一類特定映射,其須滿足以下性質:
- 對任一 , 是一正交投影。
- 且 ,其中 表示空集、為恆等算子。
- 若 中有不交的子集 ,那麼對於任一 ,
- 對任意 ,
第二、四個性質表明,如果 和 不相交(即 ), 則像 和 之間正交。
令 及其正交補 分別表示 的像和核。若 是 的閉子空間,則 可以寫成如下的正交分解 ,而 是 上唯一滿足所有四個性質的恆等算子。
對於任意 和 ,可由投影值測度導出一個 上的復值測度,其定義為
而其總變差至多為 。 投影值測度亦可導出下面的實值測度:
當 是單位向量時,其成為一個概率測度。
設 是一個 σ-有限測度空間,且對於任一 ,可有一相應的映射
定義為
即L2(X)上關於指示函數 的乘法算子。那麼 定義了一個投影值測度。作為一個例子,若 、 、 ,於是就有這樣一個復值測度 ,使得可測函數 關於該測度的積分為
首先我們給出一個基於直積分的投影值測度的一般例子。設 是測度空間,且令 是 -可測的一族可分希爾伯特空間。對於每個 ,令 為希爾伯特空間
上關於 的乘法算子,那麼 就是 上的一個投影值測度。
設 是 上的投影值測度,其值分別為 的投影算子。稱 是幺正等價的,當且僅當存在一個幺正算子 滿足
的測度類以及測度按重數映射 之結果歸併而來的等價類完全刻畫了投影值測度(在幺正等價的意義上,也就是說凡不能區分的PVM都幺正等價)。
一個投影值測度 稱為是n重齊次(homogeneous)的,當且僅當重數函數具有常數值 。顯然,
定理 — 任何在可分希爾伯特空間的投影中取值的投影值測度 都是齊次投影值測度的正交直和:
其中
以及
投影值測度的概念可推廣到正算子值測度(POVM)。對於POVM,將恆等算子劃分為投影算子所蘊含的正交性的要求不再是必要的,恆等算子轉而被分解為一族不必正交的算子[需要解釋] 。這一推廣的動機源於在量子信息理論上的應用。
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