純態

純態（pure state）這個名詞出現在幾個領域，包括物理方面的量子力學以及數學方面的泛函分析理論。

從白熾燈（1）發射出的光子處於完全隨機偏振混合態（2），密度矩陣為
${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}}$ 。
通過垂直平面偏振器（3）之後，光子處於垂直偏振純態（4），密度矩陣為
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}$ 。

量子力學

在量子力學當中，純態由一個相同統計系綜(ensemble)所構成，而相對於純態的混態(mixed state)則可以分解兩個以上的系綜。在量子力學中有諸多表示型(formalism)，一個量子態可由密度矩陣或稱密度算符表示，區分純態和混態的方法即可由此得之。純態S可用狄拉克符號的右括向量表示：

${\displaystyle S=|\Psi \rangle }$

或寫成密度矩陣表示型則為：

${\displaystyle S=\rho =|\Psi \rangle \langle \Psi |}$

給定的量子態對應不同的右矢（相差一個相位），${\displaystyle |\Psi '\rangle =e^{i\phi }|\Psi \rangle }$，但對應唯一的密度矩陣${\displaystyle \rho }$，從這個角度說，密度矩陣表示更為經濟^[1]。由此推廣，可以用密度矩陣表示定義更一般的態，

${\displaystyle S=\rho =\sum _{i=1}^{N}c_{i}|\Psi _{i}\rangle \langle \Psi _{i}|}$

其中，${\displaystyle \{|\Psi _{i}\rangle \}}$是一組（不一定互相正交的）純態，且${\displaystyle 0<c_{i}\leq 1}$並滿足${\displaystyle \displaystyle {\textstyle \sum _{i}}c_{i}=1}$。注意數${\displaystyle N}$並不受希爾伯特空間維數的限制。

混態

對於密度矩陣${\displaystyle \rho }$表述的量子態，若其不能寫作純態的密度矩陣（其中${\displaystyle N=1}$且${\displaystyle c_{1}=1}$），則稱作混態。

區分純態與混態

區分純態與混態的方法要利用到${\displaystyle tr(\rho )\,}$。${\displaystyle tr(\rho )\,}$表示對矩陣${\displaystyle \rho \,}$取對角線元素和(trace)，將純態和混態做歸一化動作，使得${\displaystyle tr(\rho )\,}$之值皆會是1。

而兩者不同處在於${\displaystyle tr(\rho ^{2})\,}$：歸一化過的純態${\displaystyle tr(\rho ^{2})=tr(\rho )=1\,}$，而歸一化過的混態則${\displaystyle tr(\rho ^{2})<1\,}$，和${\displaystyle tr(\rho )=1\,}$不同，由此得以辨別出純態與混態。

舉例

${\displaystyle \rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$為純態，${\displaystyle \rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$為混態

${\displaystyle \Rightarrow tr(\rho _{1})=tr(\rho _{2})={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1}$

${\displaystyle \rho _{1}^{2}=\rho _{1}*\rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$； ${\displaystyle \rho _{2}^{2}=\rho _{2}*\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}}$。

${\displaystyle \Rightarrow tr(\rho _{1}^{2})=tr(\rho _{1})={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1}$；${\displaystyle tr(\rho _{2}^{2})={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\neq tr(\rho _{2})=1}$

量子退相干現象的過程中，與環境的相互作用會讓密度矩陣的非對角線元素(off-diagonal elements)隨時間衰減到0。也就是說在這個例子，隨著時間${\displaystyle t\,}$逐漸增加，原本純態，

${\displaystyle \rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\\{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\Rightarrow \rho _{1}(t=0)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$

演化為混態，

${\displaystyle {\overset {t\rightarrow \infty }{\to }}\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$

泛函分析

參閱

• 密度矩陣

參考資料

1. {S. VanEnk, "Mixed states and pure states," [Online Note]. University of Oregon. Available: https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） [Accessed: September 25, 2023]}