扭棱立方體

在幾何學中，扭棱立方體（英語：snub cube^[1]），又稱擬立方體（英語：cubus simus^[2][3]）是一種由38個面組成的阿基米德立體^[4]，由6個正方形和32個正三角形組成，共有60條邊和24個頂點^[5]。

扭棱立方體

(按這裡觀看旋轉模型)
類別	半正多面體
對偶多面體	五角二十四面體
識別
名稱	扭棱立方體
參考索引	U12, C24, W17
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snic
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$ sr{4,3}
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	| 2 3 4
康威表示法	sC
性質
面	38
邊	60
頂點	24
歐拉特徵數	F=38, E=60, V=24 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	正三角形 正方形
面的佈局 （英語：Face configuration）	(8+24)個{3} 6個{4}
頂點圖	3.3.3.3.4
對稱性
對稱群	O群
特性
對掌性
圖像
3.3.3.3.4 （頂點圖） 五角二十四面體 （對偶多面體） （展開圖）
閱 論 編

扭棱立方體的結構，紅色是扭稜前的正方形面、藍色三角形代表扭稜前立方體頂點、黃色代表扭稜所產生的新的面

性質

扭棱立方體是一個手性多面體（英語：Chirality (mathematics)）^[6]，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀^[7][8][9]。扭棱立方體是一種阿基米德立體，其所有的面都是正多邊形，且每個頂點都是4個三角形和一個正方形，其頂點圖計為3.3.3.3.4或3⁴.4^[10]，由於所有頂點相等，因此也稱為半正多面體。

體積與表面積

邊長為單位長的扭棱立方體表面積為${\displaystyle 6+8{\sqrt {3}}}$，體積為：

${\displaystyle {\sqrt {\frac {613t+203}{9(35t-62)}}}\approx 7.889\,294\,677\,71,}$

其中t表示三波那契常數（英語：tribonacci constant）：

${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1.839\,29}$。

由於扭棱立方體由6個正方形和32個正三角形組成，因此其表面積即6倍的正方形面積和32倍的正三角形面積。

二面角

扭棱立方體有兩種不同角度的二面角，分別是三角形-三角形二面角和三角形-正方形二面角。其中三角形-三角形二面角餘角的餘弦值是三次方程${\displaystyle 27x^{3}+9x^{2}-15x-13}$的零點、三角形-正方形二面角餘角的餘弦值是六次方程${\displaystyle 27x^{6}-99x^{4}-129x^{2}-49}$的零點。

三角形-三角形二面角以反正割表示為：

${\displaystyle 2\sec ^{-1}({\sqrt {12R^{2}-3}})\approx 2.674448083}$

換算成角度約為153.23度或153度14分04秒。

三角形-正方形二面角為：

${\displaystyle \sec ^{-1}({\sqrt {12R^{3}-3}})+\sec ^{-1}({\sqrt {4R^{2}-1}})\approx 2.495531630}$

換算成角度約為142.98度或142度59分00秒。

其中R為邊長為單位長之扭棱立方體外接球的半徑。

正交投影

扭棱立方體的正交投影

建立於	正三角形面	正方形面	邊
圖像
投影對稱性	[3]	[4]+	[2]
對偶圖像

球面鑲嵌

	以正方形為中心
正投影圖（英語：Orthographic projection）	球極平面投影

幾何關聯

扭棱立方體可透過扭曲小斜方截半立方體的正方形面得到

扭棱立方體可透過將立方體的正方形面向外拉，使之不再相連，然後再將正方形面旋轉一個角度，再將空隙以三角形補滿而得

扭棱立方體

立方體

小斜方截半立方體

扭棱立方體

相關多面體及鑲嵌

扭棱立方體是立方體經過扭棱變換後的結果，其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有：

對稱性（英語：List_of_spherical_symmetry_groups）: [4,3], (*432)（英語：Octahedral symmetry）								[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)（英語：Tetrahedral symmetry）		[3+,4] (3*2)（英語：pyritohedral symmetry）
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	c{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=					= or	= or	=
對偶多面體
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V4.62/63	V34.4	V33	V3.62	V35

扭稜立體

原像	正四面體	立方體	正八面體	正十二面體	正二十面體
扭稜	扭棱四面體 sr{3,3}
		扭棱立方體 sr{4,3}	扭棱八面體 sr{3,4}	扭棱十二面體 sr{5,3}	扭棱二十面體 sr{3,5}
完全扭稜	完全扭稜四面體 β{3,3}	完全扭稜立方體 β{4,3}	二複合二十面體 β{3,4}	完全扭稜十二面體 β{5,3}	完全扭稜二十面體 β{3,5}

參見

• 立方體
• 截半立方體

參考文獻

1. Wenninger, M. J. "The Snub Cube." Model 17 in Polyhedron Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 31, 1989.
2. Kepler, J. Harmonices Mundi. 1619. Reprinted Opera Omnia, Lib. II. Frankfurt, Germany. [ASIN B0000DN8M2 網路書源ASIN B0000DN8M2]
3. Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.
4. Geometry Technologies. "Snub Cube.". scienceu.com. 1999-07-28. （原始內容存檔於2000-03-08）.
5. Weisstein, Eric W. (編). Snub cubic. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
6. The Snub Cube. eusebeia. 2016-09-09 [2016-08-22]. （原始內容存檔於2012-03-16）.
7. Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036.
8. Archimedean Solids: Snub Cube (laevo). dmccooey.com. （原始內容存檔於2016-03-24）.
9. Archimedean Solids: Snub Cube (dextro). dmccooey.com. （原始內容存檔於2016-03-24）.
10. Cundy, H. and Rollett, A. "Snub Cube. 3^4.4." §3.7.7 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 107, 1989. ISBN 978-0906212202

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因, 扭棱立方體 （參閱阿基米德立體） 於MathWorld（英文）
• 埃里克·韋斯坦因. Snub cubic graph. MathWorld.