密着拓撲

在拓撲學中，帶有密着拓撲（trivial topology）的拓撲空間是其中僅有的開集是空集和整個空間的空間。這種空間有時叫做不可分空間（indiscrete space），它的拓撲有時叫做不可分拓撲。在直覺上，這有着所有點都被「粘着在一起」而通過拓撲方式不可區分的推論。

定義

密着拓撲是有最小可能數的開集的拓撲，因為拓撲的定義只要求兩個集合是開集。儘管簡單，帶有多於一個元素的密着拓撲空間缺乏關鍵的性質：它不是T₀空間。

性質

不可分空間X的其他性質包括：

• 唯一的閉集是空集和X。
• X的唯一可能的基是{X}。
• 如果X有多於一個點，則由於它不是T₀，它不滿足任何更高的T公理。特別是，它不是豪斯多夫空間。不是豪斯多夫的，X就不是序拓撲，也不是可度量的。
• 但是X是正則空間、完全正則空間、正規空間和完全正規空間；儘管是在非常空洞意義上，因為僅有的閉集是∅和X。
• X是緊緻空間因此是仿緊緻空間、林德勒夫空間和局部緊緻空間。
• 所有定義域是拓撲空間而陪域是X的函數都是連續函數。
• X是道路連通並因此是連通空間。
• X是第一可數空間、第二可數空間和可分離空間。
• 所有X的子空間都有密着拓撲。
• 所有X的商空間都有密着拓撲。
• 密着拓撲空間的任意乘積，帶有要麼乘積拓撲要麼盒拓撲，都有密着拓撲。
• 所有X中的序列都收斂於X的所有點。特別是，所有序列都有收斂子序列（整個序列），因此是X是序列緊緻。
• 所有集合除了X的內部都是空集。
• 所有X的非空子集的閉包都是X。在另一種方式下：所有X的非空子集都是稠密的，這個性質刻畫了密着拓撲空間。
• 如果S是任何帶有多於一個元素的X的子集，則所有X的元素都是S的極限點。如果S是單元素集合，則所有X \ S的點仍是S的極限點。
• X是Baire空間。
• 兩個承載密着拓撲的拓撲空間是同胚的，當且僅當它們有相同的勢。

在某種意義上，密着拓撲的對立者是離散拓撲，它的所有子集都是開集。

密着拓撲屬於偽度量空間，在其中任何兩點之間的距離是0，並屬於一致空間，在其中全體笛卡爾乘積是X×X是僅有的周圍。

設Top是帶有連續映射的拓撲空間範疇，和Set是帶有函數的集合範疇。如果F : Top → Set是指派每個拓撲空間到它的底層集合的函子（所謂的遺忘函子），並且G : Set → Top是把密着拓撲放置到給定集合上的函子，則G 右伴隨於F。（把離散拓撲放置到給定集合上的函子H：Set → Top左伴隨於F。）

引用

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, (1978) Dover Publications, ISBN 0-486-68735-X. (See example 4)