佩服數

在數論中，佩服數（英文：Admirable numbers），是指若一個正整數除了本身外之所有的因數^{[註 1]}，存在一個因數${\displaystyle d\,^{\prime }}$，將其他不是本身、不是${\displaystyle d\,^{\prime }}$的因數相加後，再減掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，若等於本身，就稱它為「佩服數」。換句話說佩服數是計算一數的因數和，但其中一個因數是以相反數和其他因數相加，得到的值是自己本身的數。有這種性質的數雖未如完全數一般的完美，但仍被形容為「令人敬佩的」^[1]。

以古氏積木演示的佩服數12

所有大於3的質數的6倍都是佩服數^{[1][註 2]}，因此佩服數有無窮多個。

定義

一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數${\displaystyle d\,^{\prime }}$，將其他不是本身、不是${\displaystyle d\,^{\prime }}$的因數相加後，再減掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，若等於本身，就稱它為是佩服數。

例如12的因數有1、2、3、4、6、12。其中存在一個因數2，使得${\displaystyle (1+3+4+6)-2=12}$^[2]，同時，12也是最小的佩服數^[1]。

更為嚴格地說，佩服數是指使得公式${\displaystyle \sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n}$成立的正整數，其中σ指的是因數和函數，即${\displaystyle n}$的所有正因數（包括其本身n）之和。${\displaystyle d\,^{\prime }}$是n的其中一個因數。

例如20的因數有1、2、4、5、10、20，其因數和函數的結果為${\displaystyle \sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42}$，存在一個因數1，使得${\displaystyle \sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2}$，所以20可稱為佩服數。

佩服數是過剩數的一個子集，換句話說所有佩服數都是過剩數^[3]。哈哈哈哈哈哈

例子

最小的一些佩服數是：

12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS數列A111592）

以上列出的佩服數都是偶數。最小的奇佩服數是945^[4]，同時最小的奇過剩數、奇半完全數^[5]也是945。

前幾個奇佩服數是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS數列A109729）

連續的佩服數^{[註 3]}比連續的過剩數還要少。在10¹²以下，只有兩組連續佩服數，分別是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)^[1]。

佩服數的分布並不像過剩數那樣，過剩數有著非零的自然密度^[6]，而佩服數的成長率非線性的，例如小於100的佩服數有13個、小於1,000的佩服數有65個、小於10,000的佩服數有379個（OEIS數列A109727），其密度隨著數字尺度變大而逐漸減少。

所有大於3的質數的六倍都是佩服數^{[1][註 2]}，更精確地說，所有的質數與質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數^{[註 4]}。

相關的數列

盈完全數

有一種與佩服數類似但不太一樣的定義：一個正整數除了本身外之所有因數中，存在一個因數${\displaystyle d\,^{\prime }}$，將其他不是本身的因數相加後，再減掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……（OEIS數列A153501）

例如18的因數有1、2、3、6、9、18有一個因數3，使得${\displaystyle \left(1+2+3+6+9\right)-3=18}$。

有這種性質的數最小的奇數是173369889^[7]，同時也是最小的奇擬完全數（OEIS數列A181595）^[8]，但不是佩服數。

特別的，這些數字正好與盈完全數（Abundant-perfect numbers）重疊，盈完全數的定義為：自己的因數和（不包含自己）減去自己得到的數可以整除自己。

符合這種定義的數未必是佩服數，例如18雖然符合這種定義，但並未符合佩服數的定義^[9]，因此18不是佩服數^{[註 5]}。

相容數

薩克斯參考了親和數的定義，定義了一個新的數叫做相容數（compatible numbers），其定義為有一對數字N和M，分別各存在一個因數d_N和d_M，N將其他不是本身、不是d_N的因數相加後，再減掉d_N，得到M、而M將其他不是本身、不是d_M的因數相加後，再減掉d_M，得到N。

例如30和40^[9]：

30：2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40

40：1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前幾對相容數是：

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……（OEIS數列A109797）和（OEIS數列A109798）

虧完全數

有一種與佩服數類似但相反的定義：若一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數d'，將其他不是本身的因數相加後，再加上d'，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……^{[註 6]}

例如10的因數有1、2、5、10有一個因數2，使得${\displaystyle (1+2+5)+2=10}$

特別的，這些數字正好與虧完全數（Deficient-perfect numbers）重疊，虧完全數的定義為：自己減去自己的因數和（不包含自己）得到的數可以整除自己^[10][11]，在這個定義中1也符合，因為1不含自己的因數和是0，1減去零是1，當然可以整除1。

最小的幾個虧完全數是：

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……（OEIS數列A271816）

所有二的乘冪都是虧完全數^{[註 7]}，除了二的乘冪之外的虧完全數有：

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……（OEIS數列A060326）

楚姆克勒數

楚姆克勒數（Zumkeller numbers）是指因數可以分為相同總和的兩組數字。例如48的因數可以分為兩組：{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24}和{2, 12, 48}，其中1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48，因此48是一個楚姆克勒數^[13]。

所有佩服數都是楚姆克勒數，因為佩服數中的相減因數（即其他因數和減去此因數會等於本身的那個因數）以外的因數存在一個因數，其與佩服數中的相減因數相加後會等於其他因數之和。

前幾個楚姆克勒數是：

6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……（OEIS數列A083207）

參見

• 高合成數
• 完全數
• 婚約數
• 親和數
• 豐數
• 虧數
• 梅森素數
• 半完全數

註釋

1. 為方便說明，本條目中的「因數」一律指正因數。
2. 假設p是一個大於3的質數，則6p可因數分解為${\displaystyle 2\times 3\times p}$，因此6p共有8個因數，分別為：1、2、3、6、p、2p、3p、6p，當中存在一個因數6，使得${\displaystyle (1+2+3+p+2p+3p)-6=6p}$本身，因此對所有大於3的質數${\displaystyle p}$，${\displaystyle 6p}$都是佩服數
3. 指兩個相鄰的整數都是佩服數的情況
4. 假設p是一個大於3的質數、q是一個完全數，則${\displaystyle p\cdot q}$的因數包含所有q的因數和所有q與p的乘積，已知q的因數和為2q，因此${\displaystyle p\cdot q}$的所有正因數和為${\displaystyle 2q+2p\cdot q}$，不含${\displaystyle p\cdot q}$本身的因數和為${\displaystyle (2q+2p\cdot q)-p\cdot q}$為${\displaystyle 2q+p\cdot q}$，因此當中存在一個因數q使得其不包括q的因數和${\displaystyle (q+p\cdot q)}$減去q等於${\displaystyle p\cdot q}$本身，因此對所有大於3的質數p，${\displaystyle p\cdot q}$都是佩服數
5. 18的因數有1，2，3，6，9，18，假設d'為1，得${\displaystyle (2+3+6+9)-1=19}$，非18；假設d'為2，得${\displaystyle (1+3+6+9)-2=17}$，非18；假設d'為3，得${\displaystyle \left(1+2+6+9\right)-3=15}$，非18；假設d'為6，得${\displaystyle (1+2+3+9)-6=9}$，非18；假設d'為9，得${\displaystyle (1+2+3+6)-9=3}$，非18；假設d'為18，得${\displaystyle (1+2+3+6+9)-18=3}$，非18。因此18不存在因數d'，將其他不是本身、不是d'的因數相加後，再減掉d'，能等於本身，因此18不是佩服數^[9]
6. 該數列未被整數數列線上大全收錄。
7. 二的乘冪的因數基本上是低於該數的所有二的乘冪，例如64的因數為1、2、4、8、16、32、64，為小於等於64的所有二的乘冪，因此根據二的乘冪級數的性質^[12]，將不是本身的因數相加相當於從1到乘冪少1的二乘冪級數之和因此必等於本身減一，而1為所有自然數的因數，因此二的乘冪必定會是虧完全數。

參考文獻

1. J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The ARITHMETIC TEACHER, October 1960. pp. 293-5

1. admirable numbers. numbers aplenty. [2016-08-28]. （原始內容存檔於2017-06-03）.
2. J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The Arithmetic Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1960年10月, 7 (6): 293–295 [2016-08-28]. （原始內容存檔於2019-08-12）.
3. Admirable numbers. oeis.org. [2011-07-13]. （原始內容存檔於2022-05-11）. All admirable numbers are abundant
4. 佩服數列表. 整數數列線上大全. [2011-07-13]. （原始內容存檔於2021-02-26）.
5. Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001. Section B2. pp.75
6. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001.
7. Donovan Johnson. A153501:COMMENTS. 整數數列線上大全. [2016-08-30]. （原始內容存檔於2021-11-21）.
8. V Shevelev. On perfect and near-perfect numbers (PDF). arxiv.org. [2016-08-30]. （原始內容存檔 (PDF)於2019-11-09）.
9. T. Trotter. Admirable Numbers. trotter math. [2011年7月13日]. （原始內容存檔於2010年11月30日）.
10. M. Tang, X. Z. Ren, M. Li, On Near-Perfect and Deficient-Perfect Numbers, Colloq. Math. 133 (2013), 221-226.
11. M. Tang and M. Feng, On Deficient-Perfect Numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 186-194.
12. The sum of the powers of two from 2⁰ up to 2^{(n - 1)} is (2^ⁿ) - 1. c2.com. [2016-08-30]. （原始內容存檔於2016-09-18）.
13. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A083207 (Zumkeller or integer-perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

外部連結

• Charles R Greathouse IV, Table of n, a(n) for n = 1..10000 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）