切比雪夫函數

在數學上，切比雪夫函數（Chebyshev Function）可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。

切比雪夫第二函數${\displaystyle \psi (x)}$在x < 50時的圖像

切比雪夫第一函數（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做${\displaystyle \vartheta (x)}$或${\displaystyle \theta (x)}$，其形式如下：

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

其中${\displaystyle \log }$是自然對數，而切比雪夫第一函數就是所有小於等於x的質數p的自然對數的總和。

切比雪夫第二函數（Second Chebyshev Function）在文獻中一般記做${\displaystyle \psi (x)}$，其定義類似，為所有小於等於x的質數p的冪的自然對數的總和，而其形式如下：

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}$

其中${\displaystyle \Lambda }$是馮·曼戈爾特函數。切比雪夫函數，尤其切比雪夫第二函數${\displaystyle \psi (x)}$，經常出現於與質數相關的數學證明中，而這是因為這些函數比質數計數函數${\displaystyle \pi (x)}$還容易處理之故。可見下等式一節說明。

切比雪夫第一及第二函數都與x呈現非病態關係，而這點等價於質數定理。

除了上述的切比雪夫第一及第二函數外，還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函數（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或切比雪夫效用函數（Chebyshev utility function），其形式如下：

${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}$^[1]

藉由最小化這方程式不同${\displaystyle w}$的數值，可得到帕累托前沿（英語：Pareto front）的每個點，甚至是非凸性的部分。^[1]很多時候，要最小化的不是${\displaystyle f_{i}}$，而是在給定標量${\displaystyle z_{i}^{*}}$的狀況下${\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}$的數值，而在這種狀況下有${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}$。^[2]

這三個函數皆以帕夫努季·利沃維奇·切比雪夫為名，唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數，切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關，也不會出現在接下來的討論中。

切比雪夫第一及第二函數的關係

切比雪夫第一及第二函數彼此相關，要驗證這點，可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式：

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

其中k是使得${\displaystyle p^{k}\leq x<p^{k+1}}$的唯一整數，而k的值可參見A206722。一個更直接的關係如下：

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}$

注意的是和的後半段只有有限多個非零數值，而這是因為有下式之故：

${\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}$

切比雪夫第二函數是從1到n所有數的最小公倍數的自然對數：

${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

對於n而言，lcm(1, 2, ..., n)的值可參見A003418。

以下定理將${\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}$及${\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}$這兩個分數給聯繫起來。^[3]

定理：若${\displaystyle x>0}$則有

${\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}$

注意：從此不等式可推出

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}$

換句話說，若${\displaystyle \psi (x)/x}$或${\displaystyle \vartheta (x)/x}$其中一個趨近某個極限，則另一個也是如此，也就是兩者的極限相等。

證明：由於${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}$，因此有

${\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}$

而由${\displaystyle \vartheta (x)}$的定義，可得以下明顯的不等式：

${\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}$

因此有

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}$

最後，將此不等式兩邊除以${\displaystyle x}$，即可得定理的不等式。

非病態關係及上下界

對於切比雪夫函數，有以下已知的界線。其中p_k是第k個質數，也就是p₁ = 2、p₂ = 3等等：^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}$

此外，若黎曼猜想成立，則對於任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$而言，有以下關係式：

${\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}$

對任意的${\displaystyle x>0}$而言，切比雪夫第一函數${\displaystyle \vartheta (x)}$及第二函數${\displaystyle \psi (x)}$有以下的上界：^{[4] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}$

對於1.03883這常數的解釋，可見A206431的說明。

等式

1895年，漢斯·馮·曼戈爾特證明了^[4]${\displaystyle \psi (x)}$有以下作為黎曼ζ函數非平凡零點和的解析解（英語：Explicit_formulae_(L-function)）：

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

其中ζ′ (0)/ζ (0)的數值為log(2π)、ρ遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點，而ψ₀是一個與ψ類似的函數，但差別是其在跳躍不連續點（質數的冪）的取值為其左邊與右邊值的中間：

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

就自然對數的泰勒展開式而言，解析解的最後一項可理解為x^ω/ω對黎曼ζ函數平凡零點ω = −2, −4, −6, ...的求和。也就是說，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}$

類似地，此公式第一項x = x¹/1對應到黎曼ζ函數在1的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實，說明了項的變號。

性質

一個由埃哈德·施密特證明的結果指稱，對於某個特定的正常數K，存在有無限多個正整數x使得

${\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}$

同時有無限多個正整數x使得

${\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}$^[5][6]

使用小o符號，可將上式重述為

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

哈代與李特爾伍德^[7]證明了一個更強的結果，表述如下：

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}$

也就是說有無限多的正整數x，使得${\displaystyle \psi (x)}$與x之間的差的絕對值超過${\displaystyle {\sqrt {x}}\,\log \log \log x}$。

與質數階乘的關係

切比雪夫第一函數也是x的質數階乘x #的對數：

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}$

這說明了質數階乘x #非病態地等於e^{(1  + o(1))x}，其中o是小o符號（見大O符號一文的說明），而這點與質數定理共同確立了p_n #的非病態行為。

與質數計數函數間的關係

切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數發生關係。定義

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$

那麼有

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}$

從Π到質數計數函數π間的轉換可由下式表示：

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }$

由於很明顯地，有π (x) ≤ x之故，因此為了估計的目的，最後的關係式可重述如下：

${\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

黎曼猜想

黎曼猜想指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為1/2。在這種狀況下，有|x^ρ| = √x，且可證明說

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}$

由上式可推得

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}$

平滑化函數

平滑化切比雪夫函數定義如下：

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}$

顯然有${\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}$

參考資料

1. Joshua Knowles. Multiobjective Optimization Concepts, Algorithms and Performance Measures (PDF). The University of Manchester: 34. 2 May 2014 [2023-12-07]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-12-09）.
2. Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R. An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization (PDF). Expert Systems with Applications (Delft University of Technology). 2018. Page 6 equation (2) [2023-12-07]. doi:10.1016/j.eswa.2017.09.051. （原始內容存檔 (PDF)於2024-04-16）.
3. Apostol, Tom M. Introduction to Analytic Number Theory. Springer. 2010: 75–76.
4. Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell. Approximate formulas for some functions of prime numbers.. Illinois J. Math. 1962, 6: 64–94 [2023-12-07]. （原始內容存檔於2016-08-18）.

• ^ Pierre Dusart（英語：Pierre Dusart）, "Estimates of some functions over primes without R.H.".
  arXiv:1002.0442
• ^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, p_k", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The kth prime is greater than k(log k + log log k − 1) for k ≥ 2", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
• ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
• ^ G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
• ^ Davenport, Harold（英語：Harold Davenport） (2000). 可見於《Multiplicative Number Theory （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》一書。 Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.

額外補充

• Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Chebyshev functions. MathWorld.
• Mangoldt summatory function. PlanetMath.
• Chebyshev functions. PlanetMath.
• Riemann's Explicit Formula （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, with images and movies