伯努利原理 (英語:Bernoulli's principle ),又稱白努利定律 或柏努利定律 (英語:Bernoulli's Law )[ 1] ,是流體力學 中的一個定律,由瑞士流體物理學家丹尼爾·伯努利 於1738年出版他的理論《Hydrodynamica》,描述流體 沿著一條穩定、非黏性、不可壓縮的流線移動行為。[ 2]
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(2020年4月24日 )
氣體流入文丘里計 。減少流體壓力 而增加動能,由圖中兩管水的高度差可以看出氣壓差異。
在流體動力學,伯努利原理指出,無黏性的流體的速度增加時,流體的壓力能或位能(勢能)總和將減少。
伯努利原理可以應用到不同類型的流體流動,從而是可廣泛套用的伯努利方程表示式。事實上,有不同類型的伯努利方程式不同形式的。伯努利原理的簡單形式是有效的不可壓縮流動(如液體流動),也為移動可壓縮流體(如氣體)在低馬赫數 (通常小於0.3)。更先進的形式可被應用到在某些情況 下,在更高的馬赫數(見伯努利方程的推導)可壓縮流。
伯努利定律可以從能量守恆定律 來推演。說明如下:在一個穩定的水流,沿著直線流向的所有點上,各種形式的流體機械能 總和必定相同。也就是說,動能 ,位能 ,與內能 的總和保持不變。換言之,任何的流體速度增加,即代表動態壓力和單位體積動能的增加,而在同時會導致其靜態壓力,單位體積流體的位能、內能等三者總和的減少。如果液體流出水庫,在各方向的流線上,各種形式的能量的總和是相同的;因為每單位體積能量的總和(即壓力和單位體積流體的重力位能
ρ
g
h
{\displaystyle \rho gh}
的總和)在水庫內的任何位置都相同。
伯努利原理,也可以直接由牛頓第二定律 推演。說明如下:如果從高壓區域往低壓區域,有一小體積流體沿水平方向流動,小體積區域後方的壓力自然比前方區域的壓力更大。所以,此區域的力量總和必然是沿著流線方向向前。在此假設,前後方區域面積相等,如此便提供了一個正方向淨力施於原先設定的流體小體積區域,其加速度與力量同方向。此假想環境中,流體粒子僅受到壓力和自己質量的重力之影響。先假設如果流體沿著流線方向作水平流動,並與流體流線的截面積垂直,因為流體從高壓區域朝低壓區域移動,流體速度因此增加;如果該小體積區域的流速降低,其唯一的可能性必定是因為它從低壓區朝高壓區移動。因此,任一水平流動流體之內,壓力最低處有最高流速,壓力最高處有最低流速。
使用伯努利定律必須符合以下假設,方可使用;如沒完全符合以下假設,所求的解也是近似值。
定常流動 (或稱穩定流,Steady flow):在流動系統中,流體在任何一點之性質不隨時間改變。
不可壓縮流 (Incompressible flow):密度為常數,在流體為氣體適用於馬赫數
M
{\displaystyle M}
小於0.3的情況。
無摩擦流(Frictionsless flow):摩擦效應可忽略,忽略黏滯性 效應。
流體沿著流線 流動(Flow along a streamline):流體元素(element)沿著流線而流動,流線間彼此是不相交的。
在許多伯努利定律的應用中,ρgz 項的變化,相對其他項而言要小很多,因此會省略。例如在空中飛行的飛機,高度z 的變化很小,因此ρgz 可以省略,伯努利定律即可簡化為下式:
p
+
q
=
p
0
{\displaystyle p+q=p_{0}}
其中p 0 稱為總壓,而q 稱為動壓 [ 3] 。許多作者用p 表示靜壓,以和總壓p 0 和動壓q 區分[ 4] (§ 3.5) 。
考慮一符合上述假設的流體,如圖所示:
流體因受壓力的推動而得之能量:
F
1
s
1
−
F
2
s
2
=
p
1
A
1
v
1
Δ
t
−
p
2
A
2
v
2
Δ
t
.
{\displaystyle F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.\;}
流體因重力做功所損失的能量:
m
g
h
1
−
m
g
h
2
=
ρ
g
A
1
v
1
Δ
t
h
1
−
ρ
g
A
2
v
2
Δ
t
h
2
.
{\displaystyle mgh_{1}-mgh_{2}=\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}.\;}
流體所得的動能可以改寫為:
1
2
m
v
2
2
−
1
2
m
v
1
2
=
1
2
ρ
A
2
v
2
Δ
t
v
2
2
−
1
2
ρ
A
1
v
1
Δ
t
v
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}
根據能量守恆定律 ,流體因受力所得的能量+流體因重力做功所損失的能量=流體所得的動能。
p
1
A
1
v
1
Δ
t
−
p
2
A
2
v
2
Δ
t
+
ρ
g
A
1
v
1
Δ
t
h
1
−
ρ
g
A
2
v
2
Δ
t
h
2
=
1
2
ρ
A
2
v
2
Δ
t
v
2
2
−
1
2
ρ
A
1
v
1
Δ
t
v
1
2
{\displaystyle p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}
ρ
A
1
v
1
Δ
t
v
1
2
2
+
ρ
g
A
1
v
1
Δ
t
h
1
+
p
1
A
1
v
1
Δ
t
=
ρ
A
2
v
2
Δ
t
v
2
2
2
+
ρ
g
A
2
v
2
Δ
t
h
2
+
p
2
A
2
v
2
Δ
t
.
{\displaystyle {\frac {\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}{2}}+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t={\frac {\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}}{2}}+\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.}
由連續方程式 可知:
A
1
v
1
=
A
2
v
2
=
constant
{\displaystyle A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}={\mbox{constant}}}
令
constant
=
Δ
V
{\displaystyle {\mbox{constant}}=\Delta V\;}
從等式 兩邊除以
Δ
t
{\displaystyle \Delta t\;}
及
Δ
V
{\displaystyle \Delta V\;}
可得:
1
2
ρ
v
2
+
ρ
g
h
+
p
=
constant
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gh+p={\mbox{constant}}}
或
v
2
2
g
+
h
+
p
ρ
g
=
constant
{\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}+h+{\frac {p}{\rho g}}={\mbox{constant}}}
受壓力及重力作用流體質點之自由體圖
考慮沿流線運動的微小流體質點[ 5] ,其質量以
δ
m
=
ρ
δ
n
δ
s
δ
y
{\displaystyle \delta m=\rho \delta n\delta s\delta y}
表示,δy代表寬度,流體質點運動以速度向量V表示,流線座標可表示為與某參考點的距離s=s(t)及流線局部曲率半徑
ℜ
=
ℜ
(
s
)
{\displaystyle \Re =\Re (s)}
,沿著流線的座標為s;垂直流線的座標為 n。
在垂直流線的方向n̂上,由於存在向心加速度
a
n
=
V
2
ℜ
{\displaystyle a_{n}={V^{2} \over \Re }}
,故質點所受淨力為:
∑
δ
F
n
=
δ
m
V
2
ℜ
=
ρ
δ
V
V
2
ℜ
V
¯
{\displaystyle \textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle ={\frac {\delta mV^{2}}{\Re }}={\frac {\rho \delta \mathbb {V} V^{2}}{\Re }}{\bar {V}}}
,其中
V
=
δ
s
δ
n
δ
y
{\displaystyle \mathbb {V} =\delta s\delta n\delta y}
為微小流體質點體積,
ρ
{\displaystyle \rho }
為流體密度。
而質點所受重力為:
δ
W
n
=
−
δ
W
cos
θ
=
−
γ
δ
V
cos
θ
{\displaystyle \textstyle \delta W_{n}=-\delta W\cos \theta =-\gamma \delta \mathbb {V} \cos \theta }
,其中
γ
=
ρ
g
{\displaystyle \textstyle \gamma =\rho g}
。
如圖所示的質點中央壓力為p ,垂直流線的兩端平均壓力分別為
p
+
δ
p
n
{\displaystyle \textstyle p+\delta p_{n}}
及
p
−
δ
p
n
{\displaystyle \textstyle p-\delta p_{n}}
,可用泰勒級數展開求壓力差異
δ
p
n
=
(
∂
p
∂
n
)
(
δ
n
2
)
{\displaystyle \textstyle \delta p_{n}=({\frac {\partial p}{\partial n}})({\frac {\delta n}{2}})}
。
δ
F
p
n
{\displaystyle \delta F_{pn}}
為質點於垂直方向上所受淨壓
∑
δ
F
p
n
=
(
p
−
δ
p
n
)
δ
s
δ
y
−
(
p
+
δ
p
n
)
δ
s
δ
y
=
−
2
δ
p
n
δ
s
δ
y
=
−
∂
p
∂
n
δ
n
δ
s
δ
y
=
−
∂
p
∂
n
δ
V
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \delta F_{pn}&=(p-\delta p_{n})\delta s\delta y-(p+\delta p_{n})\delta s\delta y=-2\delta p_{n}\delta s\delta y\\&=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta n\delta s\delta y=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta \mathbb {V} \\\end{aligned}}}
故
∑
δ
F
n
=
δ
W
n
+
δ
F
p
n
=
(
−
γ
cos
θ
−
∂
p
∂
n
)
δ
V
{\displaystyle \textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle =\delta W_{n}+\delta F_{pn}=(-\gamma \cos \theta -{\frac {\partial p}{\partial n}})\delta \mathbb {V} }
因為沿著垂直流線方向
cos
θ
=
d
z
d
n
{\displaystyle \textstyle \cos \theta ={dz \over dn}}
,可得到垂直流線方向之運動方程式
(
−
γ
d
z
d
n
−
∂
p
∂
n
)
=
ρ
V
2
ℜ
{\displaystyle (-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }}
此式意味著,垂直於流線的壓力梯度及質點所受重力會改變流向,造成彎曲的流線。
若忽略重力的因素,即只考慮流體在水平面的流動,以龍捲風為例,
d
z
d
n
=
0
{\displaystyle {dz \over dn}=0}
,會得到
∂
p
∂
n
=
−
ρ
V
2
ℜ
{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial n}}=-{\rho V^{2} \over \Re }}
,這意味著,壓力隨著遠離曲率中心的距離而增大(n的正向,指向彎曲流線的內部),由於
ρ
V
2
ℜ
{\displaystyle {\rho V^{2} \over \Re }}
為正值,因此
∂
p
∂
n
{\displaystyle {\partial p \over \partial n}}
會是負的,在龍捲風之外的壓力(典型的大氣壓力)遠大於中心處(低氣壓,可能會產生部分真空),而這些壓力差會被用於平衡曲率運動所需的向心力。
在s為定值的情況下
∂
p
∂
n
=
d
p
d
n
{\displaystyle {\partial p \over \partial n}={dp \over dn}}
沿n的方向積分可得
∫
d
p
ρ
+
∫
V
2
ℜ
d
n
+
g
z
=
constant along the streamline
{\displaystyle \int {dp \over \rho }+\int {V^{2} \over \Re }dn+gz={\mbox{constant along the streamline}}}
對於不可壓縮流,可得
p
+
ρ
∫
V
2
ℜ
d
n
+
γ
z
=
constant along the streamline
{\displaystyle p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}}
由推導方程式所需的基本假設:穩定、無黏性 及不可壓縮流 ,可以得出
1.跨過流線的運動方程式
(
−
γ
d
z
d
n
−
∂
p
∂
n
)
=
ρ
V
2
ℜ
{\displaystyle (-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }}
p
+
ρ
∫
V
2
ℜ
d
n
+
γ
z
=
constant along the streamline
{\displaystyle p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}}
2.沿著流線的運動方程式 同上述做法[ 5] ,可得出沿著流線方向之運動方程式
(
−
γ
d
z
d
s
−
∂
p
∂
s
)
=
ρ
2
d
V
2
d
s
{\displaystyle (-\gamma {dz \over ds}-{\frac {\partial p}{\partial s}})={\rho \over 2}{dV^{2} \over ds}}
以及伯努利定律
p
+
1
2
ρ
V
2
+
γ
z
=
constant along the streamline
{\displaystyle p+{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}}
在跨過流線的情形使用伯努力定律時,若流體位置發生旋轉或彎曲,就會因跨過流線的運動方程式 中所含的
ρ
∫
V
2
ℜ
d
n
{\displaystyle \rho \int {V^{2} \over \Re }dn}
,導致計算結果須修正。
簡易噴槍 運作中的簡易噴槍
簡易噴霧器,以大吸管固定兩隻小吸管使之夾角略小於直角,因從吸管吹出之氣體流速較快,壓力較一大氣壓力為低,因此能夠將水經由下端吸管中吸起,並於開口處加速破碎成霧滴,模型製作用噴槍 以及工業用噴漆噴槍多為此種設計。
不過因為伯努利定律是假設流體沿著流線流動,探討同一流線上二點的速度及壓力變化。因此有些現象和伯努利定律無關,例如懸浮保麗龍球,將可折彎的吸管一端向上穩定吹出氣體,將一直徑約3公分之保麗龍球放置於氣柱上,保麗龍球能夠懸浮晃動於一定區域中,因為保麗龍球上方和下方的氣流不是同一流線,這和伯努利定律無關,是康達效應 的結果[ 7] 。
伯努利從觀察液體的行為中推導出伯努利方程式,但他的方程是只能應用在不可壓縮的流體,以及雖然可壓縮但流速非常慢的流體(也許可以到1/3的聲速)。利用基本物理原理,可以發展出類似的方程式,以適用於可壓縮的流體。以下有幾個類似於伯努力定律,能應用在不同領域方程式。它們的推導只運用了像是牛頓第二定律 和熱力學第一定律 的基本物理定律。
Dennis Zill. Advanced Engineering Mathematics . Jones & Bartlett. 2012: 第22頁. ISBN 9781449689803 .
張慧貞 物理雙月刊 37卷3期 教科書對於演示實例的理解及誤解