高斯函數

的函數。其中a、b與 c為實數常數，且a > 0.

關於高斯取整函數，請見「高斯符號」。

高斯函數是形式為

${\displaystyle f(x)=ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}}$

c² = 2的高斯函數是傅立葉變換的特徵函數。這就意味着高斯函數的傅立葉變換不僅僅是另一個高斯函數，而且是進行傅立葉變換的函數的標量倍。^{[註 1]}

用期望值及方差作為參數表示的高斯曲線（參見正態分布）

半峰全寬與積分

聯立高斯積分

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.}$

和半峰全寬，

${\displaystyle \mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .}$ 解得

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=a\cdot {\sqrt {2\pi }}FWHM/2.355\approx 1.064\cdot a\cdot FWHM}$

應用

高斯函數的不定積分是誤差函數。在自然科學、社會科學、數學以及工程學等領域都有高斯函數的身影，這方面的例子包括：

• 在統計學與概率論中，高斯函數是正態分布的密度函數，根據中心極限定理它是複雜總和的有限概率分布。
• 高斯函數是量子諧振子基態的波函數。
• 計算化學中所用的分子軌道是名為高斯軌道的高斯函數的線性組合（參見量子化學中的基組）。
• 在數學領域，高斯函數在埃爾米特多項式的定義中起着重要作用。
• 高斯函數與量子場論中的真空態相關。
• 在光學以及微波系統中有高斯波束的應用。
• 高斯函數在圖像處理中用作預平滑核（參見尺度空間表示）。

注釋

1. 高斯函數屬於初等函數，但它沒有初等不定積分。但是仍然可以在整個實數軸上計算它的廣義積分（參見高斯積分)：

   ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$。

   
   

參見

• 勞倫茲函數
• 正態分布
• 洛侖茲變換