超限數

提示：此條目頁的主題不是超越數。

超限數是大於所有有限數（但不必為絕對無限）的基數或序數，分別叫做超窮基數（英語：transfinite cardinal number）和超窮序數（英語：transfinite ordinal number）。術語「超限」（transfinite）是康托爾提出的，他希望避免詞語無限（infinite）和那些只不過不是有限（finite）的那些對象有關的某些暗含。當時其他的作者少有這些疑惑；現在被接受的用法是稱超限基數或序數為無限的。但是術語「超限」仍在使用。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

超窮序數可以確定超窮基數，並導出阿列夫數序列。

對於有限數，有兩種方式考慮超限數，作為基數和作為序數。不像有限基數和序數，超限基數和超限序數定義了不同類別的數。

• 最小超限序數是ω。
• 第一個超限基數是aleph-0 ${\displaystyle \aleph _{0}}$，整數的無限集合的勢。如果選擇公理成立，下一個更高的基數是aleph-1 ${\displaystyle \aleph _{1}}$。如果不成立，則有很多不可比較於aleph-1並大於aleph-0的其他基數。但是在任何情況下，沒有基數大於aleph-0並小於aleph-1。

連續統假設聲稱在aleph-0和連續統（實數的集合）的勢之間沒有中間基數：就是說，aleph-1是實數集合的勢。已經在數學上證實了連續統假設不能被證明為真或假，由於不完備性的影響。

某些作者，比如Suppes、Rubin使用術語超限基數來稱呼戴德金無限集合的勢，在可以不等於無限基數的上下文中；就是說在不假定可數選擇公理成立的上下文中。給定這個定義，下列是等價的：

• ${\displaystyle \mathbf {m} }$是超限基數。就是說有一個戴德金無限集合A使得A的勢是${\displaystyle \mathbf {m} }$。
• ${\displaystyle \mathbf {m} +1=\mathbf {m} }$。
• ${\displaystyle \aleph _{0}\leq \mathbf {m} }$。
• 有一個基數${\displaystyle \mathbf {n} }$使得${\displaystyle \aleph _{0}+\mathbf {n} =\mathbf {m} }$。

引用

• O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, MacTutor History of Mathematics archive.
• Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4
• Jean E. Rubin, "Set Theory for the Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967)

參見

• 阿列夫數
• ℶ 數
• 基數
• 不可及基數（英語：inaccessible cardinal）
• 無窮小
• 大基數
• 極限序數
• Mahlo基數（英語：Mahlo cardinal）
• 可測基數（英語：measurable cardinal）
• 序數算術
• 序數
• 超限歸納法