在統計物理中, 朗之萬公式 (保羅·朗之萬 ,1908年) 是一個描述自由度的子集的時間演化的隨機微分方程 。 這些自由度,通常是那些在與系統的其他(微觀的)變量相比,變化較緩慢的集體(宏觀的)變量。 快速變化(微觀)的變量導致了朗之萬公式的隨機性。
經典力學有一個對一般朗之萬方程的形式推導[ 2] [ 3] 。這個一般方程在臨界動力學[ 4] 和非平衡統計力學的其他領域扮演了核心角色。上述描述布朗運動的方程是一般朗之萬方程的特殊情況。
一個推導一般朗之萬方程的必要條件是對自由度不同快慢類型的標準劃分(熵理論認為影響系統的變量可以分為快變量和慢變量)。例如,在液體中可以在幾次碰撞時間內達到局部熱力學平衡,但對於守恆量的密度,比如質量和能量,卻需要長得多的時間去達到平衡。因此守恆量的密度,尤其是它們的長波分量,是慢變量的候選者。技術上來說這種劃分是以Zwanzig投影算子 [ 5] 來實現的,它是推導中的必要工具。 推導不完全嚴格,因為它依賴於(貌似可信的)假設,類似於其他基本的統計力學中的假設。
令
A
=
{
A
i
}
{\displaystyle A=\{A_{i}\}}
表示慢變量。 則一般朗之萬式表示為
d
A
i
d
t
=
k
B
T
∑
j
[
A
i
,
A
j
]
d
H
d
A
j
−
∑
j
λ
i
,
j
(
A
)
d
H
d
A
j
+
∑
j
d
λ
i
,
j
(
A
)
d
A
j
+
η
i
(
t
)
.
{\displaystyle {\frac {dA_{i}}{dt}}=k_{B}T\sum \limits _{j}{\left[{A_{i},A_{j}}\right]{\frac {{d}{\mathcal {H}}}{dA_{j}}}}-\sum \limits _{j}{\lambda _{i,j}\left(A\right){\frac {d{\mathcal {H}}}{dA_{j}}}+}\sum \limits _{j}{\frac {d{\lambda _{i,j}\left(A\right)}}{dA_{j}}}+\eta _{i}\left(t\right).}
漲落力
η
i
(
t
)
{\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}
服從高斯分布 ,其相關函數為
⟨
η
i
(
t
)
η
j
(
t
′
)
⟩
=
2
λ
i
,
j
(
A
)
δ
(
t
−
t
′
)
.
{\displaystyle \left\langle {\eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t^{\prime }\right)}\right\rangle =2\lambda _{i,j}\left(A\right)\delta \left(t-t^{\prime }\right).}
這暗示了阻尼係數
λ
{\displaystyle \lambda }
具有昂薩格倒易關係
λ
i
,
j
=
λ
j
,
i
{\displaystyle \lambda _{i,j}=\lambda _{j,i}}
。
d
λ
i
,
j
/
d
A
j
{\displaystyle d\lambda _{i,j}/dA_{j}}
對
A
{\displaystyle A}
的依賴性在大多數情況下可以忽略不計。符號
H
=
−
l
n
(
p
0
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=-ln\left(p_{0}\right)}
表示了系統的哈密頓量,其中
p
0
(
A
)
{\displaystyle p_{0}\left(A\right)}
是變量
A
{\displaystyle A}
的平衡概率分布。最後,
[
A
i
,
A
j
]
{\displaystyle [A_{i},A_{j}]}
是慢變量
A
i
{\displaystyle A_{i}}
和
A
j
{\displaystyle A_{j}}
的泊松括號在慢變量空間投影。
在布朗運動的例子中,一個系統的狀態可以有
H
=
p
2
/
(
2
m
k
B
T
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}/\left(2mk_{B}T\right)}
,
A
=
{
p
}
{\displaystyle A=\{\mathbf {p} \}}
或
A
=
{
x
,
p
}
{\displaystyle A=\{\mathbf {x} ,\mathbf {p} \}}
,
[
x
i
,
p
j
]
=
δ
i
,
j
{\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}}
。 對
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
的運動方程
d
x
/
d
t
=
p
/
m
{\displaystyle d\mathbf {x} /dt=\mathbf {p} /m}
是精確的, 其中沒有漲落力
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
和阻尼力
λ
x
,
p
{\displaystyle \lambda _{x,p}}
.
一個諧振子相圖展示了由郎之萬方程決定的相空間傳播
上述的典型布朗顆粒,與約翰遜-奈奎斯特噪聲 ,即由每個電阻中的熱力學漲落引起的電壓,有一個相似的類比[ 6] 。右圖展示了包含一個電阻 R和電容 C的電路。這個電路的慢變量是電阻兩端的的電壓。其哈密頓量表示為
H
=
E
/
k
B
T
=
C
U
2
/
(
2
k
B
T
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=E/k_{B}T=CU^{2}/(2k_{B}T)}
,朗之萬方程則表示為
d
U
d
t
=
−
U
R
C
+
η
(
t
)
,
⟨
η
(
t
)
η
(
t
′
)
⟩
=
2
k
B
T
R
C
2
δ
(
t
−
t
′
)
.
{\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta \left(t\right),\;\;\left\langle \eta \left(t\right)\eta \left(t^{\prime }\right)\right\rangle ={\frac {2k_{B}T}{RC^{2}}}\delta \left(t-t^{\prime }\right).}
這個方程可以用來確定相關函數
⟨
U
(
t
)
U
(
t
′
)
⟩
=
(
k
B
T
/
C
)
exp
(
−
|
t
−
t
′
|
/
R
C
)
≈
2
R
k
B
T
δ
(
t
−
t
′
)
,
{\displaystyle \left\langle U\left(t\right)U\left(t^{\prime }\right)\right\rangle =\left(k_{B}T/C\right)\exp \left(-\left\vert t-t^{\prime }\right\vert /RC\right)\approx 2Rk_{B}T\delta \left(t-t^{\prime }\right),}
當電容C小可以忽略不計時成為白噪聲(約翰遜噪聲)。
二級相變 的序參量的動力學在接近臨界點時變慢,並且可以用朗之萬方程描述[ 4] 。最簡單的例子是具有非保守標量階參量的普適類 「model A」,在軸向鐵磁體中的實現
∂
φ
(
x
,
t
)
∂
t
=
−
λ
δ
H
δ
φ
+
η
(
x
,
t
)
,
H
=
∫
d
d
x
{
1
2
φ
[
r
0
−
∇
2
]
φ
+
u
φ
4
}
,
⟨
η
(
x
,
t
)
η
(
x
′
,
t
′
)
⟩
=
2
λ
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
t
−
t
′
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi \left(\mathbf {x} ,t\right)}{\partial t}}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta \left(\mathbf {x} ,t\right),\\{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\varphi \left[r_{0}-\nabla ^{2}\right]\varphi +u\varphi ^{4}\right\},\\\left\langle \eta \left(\mathbf {x} ,t\right)\eta \left(\mathbf {x} ',t'\right)\right\rangle &=2\lambda \delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)\delta \left(t-t'\right).\end{aligned}}}
其他的普適類(命名方法是像 「model A",..., "model J")包含一個擴散的序參量,有幾個分量的序參量,其他臨界變量和(或)來自泊松括號的貢獻[ 4] 。
在漲落力的具體實現中,朗之萬方程並不關心其本身的解,它關心的是在對漲落力取平均後慢變量的相關函數。這樣的相關函數也可以用其他(等價的)技巧確定。
福克-普朗克方程 是關於隨機變量
A
{\displaystyle A}
的含時概率密度
P
(
A
,
t
)
{\displaystyle P\left(A,t\right)}
的一個確定性方程。對應上面一般朗之萬方程的福克-普朗克方程可以由標準技巧[ 7] 推導得到
∂
P
(
A
,
t
)
∂
t
=
∑
i
,
j
∂
∂
A
i
(
−
k
B
T
[
A
i
,
A
j
]
∂
H
∂
A
j
+
λ
i
,
j
∂
H
∂
A
j
+
λ
i
,
j
∂
∂
A
j
)
P
(
A
,
t
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{B}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).}
平衡分布
P
(
A
)
=
p
0
(
A
)
=
c
o
n
s
t
×
exp
(
−
H
)
{\displaystyle P(A)=p_{0}(A)=const\times \exp(-{\mathcal {H}})}
是一個平穩解。
David Tong. Kinetic Theory Ch. 3.
Applied Stochastic processes. M. Scott.
Langevin, P. Sur la théorie du mouvement brownien [On the Theory of Brownian Motion]. C. R. Acad. Sci. (Paris). 1908, 146 : 530–533.
Dengler, R. Another derivation of generalized Langevin equations. 2015. arXiv:1506.02650v2 .
Ichimaru, S., Basic Principles of Plasma Physics 1st., USA: Benjamin: 231, 1973, ISBN 0805387536
延伸閱讀
W. T. Coffey (Trinity College, Dublin , Ireland) and Yu P. Kalmykov (Université de Perpignan, France , The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Third edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 27.
Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics , McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation
R. Friedrich, J. Peinke and Ch. Renner. How to Quantify Deterministic and Random Influences on the Statistics of the Foreign Exchange Market , Phys. Rev. Lett. 84, 5224 - 5227 (2000)
L.C.G. Rogers and D. Williams. Diffusions, Markov Processes, and Martingales , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, reprint of 2nd (1994) edition, 2000.