相圖 (動態系統)

相圖是在用繪圖的方式在相平面上表示動態系統的軌跡。每一個不同的初始條件都用一條曲線（或是一個點）表示。

單擺的位能及相圖。其中X軸是角度，有2π的週期性

用單擺的運動來推導相圖

范德波爾方程式 ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\epsilon (y^{2}-1){\frac {dy}{dt}}+y=0,\quad \epsilon =1}$的相圖

在研究動態系統時，相圖是很重要的工具。相圖是由在相空間中各點軌跡的點圖（英語：plot (graphics)）組成。相圖可以看出動態系統在給定的參數下，是否有吸引子、排斥子或是極限環。拓撲等價（英語：topological conjugacy）的概念在為系統行為分類時非常重要，例如二個不同的相圖可能會出現相同的本質性動態特性。

在相圖中會描繪系統的軌跡（以箭頭表示）、穩定穩態（以黑點表示）及不穩定穩態（以圓圈點表示），相圖的軸對應狀態變數。

例子

• 單擺的相圖（右圖）
• 簡易的諧振子，相圖是一組中心點在原點的橢圓。
• 范德波爾振蕩器的相圖（右圖）
• 分枝圖（英語：Bifurcation diagram）
• 曼德博集合

微分方程行為的可視化

相圖可以呈現微分方程（ODE）系統的行為，也可以看出系統的穩定性^[1]

穩定性^[1]

不穩定	隨著時間增加，系統大部份的解會逐漸趨近∞
漸近穩定	隨著時間增加，系統所有的解會逐漸趨近0
中性穩定	隨著時間增加，系統中沒有解會趨近∞，但大部份的解也沒有趨近0

ODE系統相圖上的特性也可以用系統的特徵值或跡（trace）以及行列式判別（跡 = λ₁ + λ₂，行列式 = λ₁ x λ₂）^[1]

相圖行為^[1]

特徵值、跡、行列式	相圖形狀
λ1 & λ2為實數，異號 行列式 < 0	鞍型（不穩定）
λ1 & λ2為實數，同號，λ1 ≠ λ2; 0 < 行列式 < (trace2 / 4)	節點（跡 < 0 表示穩定，跡 > 0 表示不穩定）
λ1 & λ2均有實部有虛部 (trace2 / 4) < determinant	螺旋（trace < 0 表示穩定，trace > 0 表示不穩定）

相關條目

• 相空間
• 相平面

參考資料

1. Haynes Miller, and Arthur Mattuck. 18.03 Differential Equations. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/mit18_03s10_chapter_26/)

• Jordan, D. W.; Smith, P. Nonlinear Ordinary Differential Equations fourth. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920824-1. Chapter 1.
• Steven Strogatz. Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. 2001. ISBN 9780738204536.

外部連結

• Phase Portrait Generator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） a tool for sketching phase portraits of 2D systems.
• Linear Phase Portraits （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, an MIT Mathlet.