微分代數(英語:Differential algebra)是代數學的一個分支,在代數中裝備一個導子就可以得到微分代數。此外,在數學中,微分環、微分域和微分代數是環、域、代數裝備一個導子,一個滿足萊布尼茲乘積法則的一元函數。微分域的一個自然例子是複數域上的單變元有理函數 C(t),其導子是關於 t 的微分。
微分環
一個微分環 R 是裝備一個或多個導子的環
使得每個導子滿足萊布尼茲乘積法則:
對任何 。注意環可能不交換,從而稍微標準的交換環情形的乘積法則 d(xy) = xdy + ydx 形式可能不成立。如果 是環上的乘法,乘積法則是恆等式
這裡 表示函數將二元組 映到二元組 。
微分域
一個微分域是帶有一個導子的域 K。微分域 DF 的理論,由通常域公理與另外關於導子的兩個公理。和上面一樣,導子在域的元素上必須服從乘積法則,或萊布尼茲法則,這是導子稱為導子的原因。即對域中任何兩個元素 u 與 v 有
由於域上的乘法可交換。導子也必須對域加法有分配律
如果 K 是一個微分域則常數域 。
微分代數
域 K 上一個微分代數是一個 K-代數 A,其中的導子與域可交換。即對所有 與 有
在不用指標記法中,如果 是定義了環上數量乘法的環同態,則有
同上導子對代數乘法必須服從萊布尼茲法則,以及對加法線性。從而,對所有 與 有
以及
李代數上的導子
李代數 上一個導子是一個線性 滿足萊布尼茲法則:
對任何 是 上一個導子,這由雅可比恆等式可得。任何這樣的導子稱為內導子。
例
如果 有單位,則 ∂(1) = 0 這是因為 ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1)。例如,在特徵零的微分域中,有理數總是常數域的子域。
任何域可以簡單地理解為一個常數微分域。
域 Q(t) 具有惟一的結構成為一個微分域,由令 ∂(t) = 1 確定:域公理與導子的公理奇異保證導子是關於 t 的導數。例如,由乘法與萊布尼茲法則的交換性有 ∂(u2) = u ∂(u) + ∂(u)u= 2u∂(u)。
微分域 Q(t) 對微分方程
沒有解。但擴充成包括函數 et 的更大的微分域,則這個方程有解。對任何微分方程系統有解的微分域稱為微分閉域。這樣的域存在,儘管它們不是作為代數或幾何對象自然出現的。任何微分域(有界基數)嵌入一個大微分閉域。微分域是微分伽羅瓦理論中的研究對象。
自然出現的導子例子是偏導數、李導數、Pincherle導數與關於這個代數中一個元素的交換子。所有這些例子是密切聯繫的,導子的概念將它們統一起來。
偽微分算子環
微分環和微分域經常通過研究它們上面的偽微分算子來研究。
這是環
這個環上的乘法定義為
這裡 是二項式係數。注意到恆等式
這裡利用了恆等式
與
另見
- 微分伽羅瓦定理
- 凱勒微分
- 微分閉域
- D-模是有多個微分算子作用在它上面的代數結構。
- 微分分次代數是附加分次的一個微分代數。
- 算術導數
參考文獻
- Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
- I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
- E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
- D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
- A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994
外部連結
- David Marker's home page (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) has several online surveys discussing differential fields.