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在日常交流中,基數(cardinal number,cardinal)或量數,是對應量詞的數,例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對,序數是對應排列的數,例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。
各式各樣的數 |
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在數學集合論中,基數或勢,即集合中包含的元素的「個數」(參見勢的比較),是日常交流中基數的概念在數學上的精確化(並使之不再受限於有限情形)。有限集合的基數,其意義與日常用語中的「基數」相同,例如的基數是3。無限集合的基數,其意義在於比較兩個集的大小,例如整數集和有理數集的基數相同;整數集的基數比實數集的小。
康托爾在1874年-1884年引入最原始的集合論(現稱樸素集合論)時,首次引入基數概念。 他最先考慮的是集合和,它們並非相同,但有相同的基數。驟眼看來,這是顯而易見,但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素?
康托爾的答案,是透過所謂的一一對應,即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到,兩個集合的基數自然相同。這答案,容易理解但卻是革命性的,因為用相同的方法即可比較任意集合的大小,包括無窮集合。
最先被考慮的無窮集合是自然數集及其無限子集。他把所有與能一一對應的集為可數集。令康托爾意外的是,原來的所有無限子集都能與一一對應。他把的基數稱為,是最小的艾禮富數。
康托爾發現,原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在1874年初,他嘗試證明是否所有無限集合均是可數,其後他得出了實數集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證,而在他1891年的論文中,他以簡單而巧妙的對角論證法重新證明了這一結果。實數集的基數,記作c,代表連續統。
接着康托爾構作一個比一個大的集合,得出一個比一個大的基數,而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論,需要一個新的語言描述,這就是康托爾發明集合論的主因。
康托爾隨後提出連續統假設:c就是第二個超窮基數,即継之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的,即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合論。
在非正式使用中,基數就是通常被稱為計數的東西。它們同一於開始於的自然數(就是)。計數可以形式化地定義為有限基數,而無限基數只出現在高等數學和邏輯中。
更正式地,一個非零的數可以用於兩個目的:描述一個集合的大小,或描述一個元素在序列中位置。對於有限集合和序列,可以輕易的看出着兩個概念是相符的,因為對於所有描述在序列中的一個位置的數,我們可以構造一個有正好大小的集合,比如3描述了在序列中的位置,並且我們可以構造有三個元素的集合。但是在處理無限集合的時候,在這兩個概念之間的區別是本質的—這兩個概念對於無限集合實際上是不同的。考慮位置的方面會引申出序數的概念,而大小則被這裡描述的基數所廣義化。
在基數的形式定義背後的直觀想法是,可以構造一個記號來指明集合的相對大小,而不需理會它有哪些種類的成員。對於有限集合這是容易的:只需簡單的數算一個集合的成員數目。為了比較更大集合的大小,得藉助更加巧妙的概念。
一個集合至少等大小於(或稱大於等於)一個集合,如果有從到的一個單射(一一映射)。一一映射對集合的每個元素確定了一個唯一的集合的元素。通過例子就最易理解了;假設有集合和,我們可以注意到有一個映射:
這是一對一的,使用上述的大小概念,我們因此總結出有大於等於的勢。注意元素沒有元素映射到它,但這是允許的,因為我們只要求一一映射,而不必須是一對一並且完全的映射。這個概念的好處是它可以擴展到無限集合。
我們可以把這個概念擴展到一個類似於等式的關係。兩個集合和被稱為有相同的"勢",如果存在和之間的雙射。通過Schroeder-Bernstein定理,這等價於有從到和從到的兩個一一映射。我們接着記之為 。的基數自身經常被定義為有着 的最小序數。這叫做馮·諾伊曼基數指派;為使這個定義有意義,必須證明所有集合都有同某個序數一樣的勢;這個陳述就是良序原理。然而即使不給集合的勢指派一個名字,討論集合之間相對的勢還是可以的。
一個經典例子是無限旅館悖論,也叫做希爾伯特旅館悖論。假設你是有無限個房間的旅館主人。旅館客滿,而又來了一個新客人。可以讓在房間1的客人轉移到房間2,房間2的客人轉移到房間3,以此類推,騰空房間1的方式安置這個新客人。我們可以明確的寫出這個映射的一個片段:
在這種方式下我們可以看出集合和集合有相同的勢,因為已知這兩個集合之間存在雙射。這便給"無限集合"提供了一個合適的定義,即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合;在上面的例子中是的真子集。
當我們考慮這些大對象的時候,我們還想看看計數次序的概念是否符合上述為無限集合定義的基數。事實上是不一致的;通過考慮上面的例子,我們可以看到如果有「比無限大一」的某個對象存在,它必須跟起初的無限集合有一樣的勢。這時候可以使用另一種稱為序數的形式概念,它是建基於計數並依次考慮每個數的想法上。而我們會發現,勢和序(ordinality)的概念對於無限的情況是有分歧的。
可以證明實數的勢大於剛才描述的自然數的勢,透過對角論證法可以一目瞭然。跟勢相關的經典問題(比如連續統假設)主要關注在某一對無限基數之間是否有別的基數。現時數學家已經在描述更大更大基數的性質。
因為基數是數學中如此常用的概念,有各種各樣的名字指涉它。勢相同有時也叫做等勢、均勢或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此稱有相同勢的兩個集合為等勢的、均勢的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。
首先,給出集合和,我們稱的勢小於等於,記作 ,當且僅當存在由到的單射;稱的勢與相等,記作 , 當且僅當存在由到的雙射(即一一對應)。
康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理指出如果 及 則 。
假設選擇公理,所有集合都可良序,且對於所有集合與,有 或 。因此,我們可以定義序數,而 集合的基數則是與等勢的最小序數。
(若不接受選擇公理,我們也可對非良序集定義基數,就是所有與等勢的集的階中下確界。)
自然數的一種定義是。可以見到,與數等勢的集必有個元素。如集合的基數為。
以下是有限集的三個等價定義:它與某自然數等勢;它只有一個等勢的序數,就是它的基數;它沒有等勢的真子集。
最小的無限集合是自然數集。與基數相同,因為可以讓前一集合的與後一集合的一一對應。從這個例子可以看出,對於一個無窮集合來說,它可以和它的一個真子集有相同的基數。
以下是無限集的四個等價定義:它不與任何自然數等勢;它有超過一個等勢的序數;它有至少一個真子集和它等勢;存在由自然數集到它的單射。
我們可在基數上定義若干算術運算,這是對自然數運算的推廣。
給出集合與,定義 ,則基數和是
若與不相交,則 。
基數積是
其中是和的笛卡兒積。
基數指數是
其中是所有由到的函數的集合。
在有限集時,這些運算與自然數無異。一般地,它們亦有普通算術運算的性質:
無窮集合的加法及乘法(假設選擇公理)非常簡單。若與皆非空而其中之一為無限集,則
注意是的冪集之基數。由對角論證法可知,是以並不存在最大的基數。事實上,基數的類是真類。
還有些關於指數的性質:
對每一個基數,存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是,康托爾稱下一個為,相類似的,還定義了如下一個序列:。
設。連續統假設猜想,就是。
連續統假設是與一般集論公理(即Zermelo-Fraenkel公理系統加上選擇公理)是獨立的。
更一般的假設,即。
廣義連續統假設,就是對所有無窮基數,都不存在介乎與之間的基數。
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