埃爾米特矩陣

埃爾米特矩陣（英語：Hermitian matrix，又譯作厄米特矩陣，厄米矩陣），也稱自伴隨矩陣，是共軛對稱的方陣。埃爾米特矩陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的復共軛。例如${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}}$就是一個埃爾米特矩陣。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

顯然，埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數，其特徵值也是實數。對於實矩陣，如果它是對稱矩陣，則它也滿足埃爾米特矩陣的定義，即，實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。

定義

對於矩陣${\displaystyle A\in C^{n\times n}}$，若對A中任意元素${\displaystyle a_{i,j}}$和${\displaystyle a_{j,i}}$有：

${\displaystyle a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}}$

其中${\displaystyle {\overline {(\cdot )}}}$為共軛算子，則記作${\displaystyle A=A^{H}}$，其中${\displaystyle {(\cdot )}^{H}}$為共軛轉置，稱A為埃爾米特矩陣。

性質

• 若A和B是埃爾米特矩陣，那麼它們的和A+B也是埃爾米特矩陣；而只有在A和B滿足交換性（即AB = BA）時，它們的積才是埃爾米特矩陣。
• 可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣A^-1仍然是埃爾米特矩陣。
• 如果A是埃爾米特矩陣，對於正整數n，Aⁿ是埃爾米特矩陣。
• 方陣C與其共軛轉置的和${\displaystyle C+(C^{*})}$是埃爾米特矩陣，
• 方陣C與其共軛轉置的差${\displaystyle C-C^{*}}$是斜埃爾米特矩陣。
• 任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示：

${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*})}$。

• 埃爾米特矩陣是正規矩陣，因此埃爾米特矩陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味着埃爾米特矩陣的特徵值都是實的，而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交，因此可以在這些特徵向量中找出一組Cⁿ的正交基。
• n-階埃爾米特矩陣的元素構成維數為n²的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之上的元素有兩個自由度。
• 如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數，那麼這個矩陣是正定矩陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定矩陣。

埃爾米特序列

埃爾米特序列（亦或埃爾米特向量）指滿足下列條件的序列a_k（其中k = 0, 1,…, n）：

${\displaystyle \Im (a_{0})=0\quad {\mbox{and}}\quad a_{k}={\overline {a_{n-k}}}\quad {\mbox{for }}k=1,2,\dots ,n}$。

若n是偶數，則a_n/2是實數。

實數序列的離散傅里葉變換是埃爾米特序列。反之，一個埃爾米特序列的逆離散傅里葉變換是實序列。

參見

• 共軛轉置
• 正規矩陣
• 辛矩陣
• 酉群
• 酉算子
• 矩陣分解

參考資料