加法原理

加法原理^[1]（rule of sum^{[2]:66[3]:342}或addition principle^[4][5]）是組合計數的基本組合原理。簡單而言，若有${\displaystyle A}$種方式做某事，又有${\displaystyle B}$種方式做另一件事，且恰好要做其中之一，則總共有${\displaystyle A+B}$種方案。^[2][4]

嚴格化的數學中，加法原理是有關集合大小的事實，斷言任意有限多個兩兩互斥的集合大小之和，等於其聯集的大小。以符號表示為，若集合${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}}$兩兩互斥，則有

${\displaystyle |S_{1}|+|S_{2}|+\cdots +|S_{n}|=|S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots \cup S_{n}|.}$^[4][5]

簡單例子

設學校田徑運動會中，學生要報名恰好一個項目，可以是田賽或徑賽。若選田賽，則可以選跳高、跳遠、鉛球三項之一。若選徑賽，則可以選一百米跑、四百米跑兩項之一。

應用加法原理，共有${\displaystyle 3+2=5}$種報名方案。

容斥原理

主條目：容斥原理

三幅文氏圖，每個區域標的數，是該圖下方算式中，該區域（對應的集合）的元素數了多少次，驗證了容斥原理。

容斥原理可以視為加法原理的推廣，因為是同樣計算若干個集合之並的大小，但不要求各集合兩兩互斥。其斷言，若${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$為有限集，則

${\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl |}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr |}{}=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|&-\sum _{i,j\,:\,1\leq i<j\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|\\&+\sum _{i,j,k\,:\,1\leq i<j<k\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \cdots \ +\left(-1\right)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}}$^[4]

參考文獻

1. 國家教育研究院. addition rule. 雙語詞𢑥、學術名詞暨辭書資訊網. [2021-09-03]. （原始內容存檔於2021-09-04）.
2. Leung, K. T.; Cheung, P. H. Fundamental Concepts of Mathematics. Hong Kong University Press. 1988-04-01 [2021-09-03]. ISBN 978-962-209-181-8. （原始內容存檔於2021-08-14） （英語）.
3. Penner, R. C. Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. World Scientific. 1999 [2021-09-03]. ISBN 978-981-02-4088-2. （原始內容存檔於2021-08-14） （英語）.
4. Biggs, Norman L. Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. 2002: 91, 112. ISBN 978-0-19-871369-2.
5. enumerative combinatorics. planetmath.org. 22 March 2013 [14 August 2021]. （原始內容存檔於2014-07-23）.

參見

• 其他組合技巧如：
  • 乘法原理——組合計數原理，計算從兩集合各取一個元素的方法數
  • 容斥原理——組合數學的計數技巧，重複數算的數目要扣除