判別式

判別式是代數學中的概念，它可以推斷出一個實係數或復係數多項式的根的屬性。

一元二次多項式的判別式 ${\displaystyle \Delta }$與其函數圖像之間的關係

當多項式的係數不是實數或複數域時，同樣有判別式的概念。判別式總是係數域中的元素。這時，判別式為零當且僅當多項式在它的分裂域中有重根。判別式的通常形式為：

${\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}$

其中的${\displaystyle a_{n}}$是多項式的最高次項係數，${\displaystyle r_{1},...,r_{n}}$是多項式在某個分裂域中的根（如有重根的按重數重複排列）。

判別式的概念也被推廣到了多項式以外的其它代數結構，比如說圓錐曲線、二次型和代數數域中。在代數數論中，判別式與所謂的「分歧」的概念緊密相關。實際上，愈為幾何的分歧類型對應着愈為抽象的判別式類型，因此在許多方面判別式都是一個中心概念。判別式在本質上表現為相應行列式的計算。

定義

二次方程的判別式

最簡單的判別式情形出現在二次多項式方程的求解中。假設有二次多項式方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$，其中係數${\displaystyle a,b,c}$為實數，則它的判別式定義為：

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$

判別式也是一個實數。如果設方程的兩個根為${\displaystyle r_{1}}$和${\displaystyle r_{2}}$，那麼根據二次方程的求根公式，兩個根可以表示為：

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\quad \;\;r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.}$

方程的根與判別式的關係為：

${\displaystyle \Delta =a^{2}(r_{1}-r_{2})^{2}.}$

兩個根都是實數，當且僅當判別式大於等於零。當且僅當兩根相等時，判別式等於零。如果判別式小於零，則兩根是共軛的複數。

三次方程的判別式

• 三次多項式${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$的判別式是

${\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,}$

• 二次項系數為零的首一三次多項式${\displaystyle x^{3}+px+q\,}$的判別式是：

${\displaystyle \Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,}$

四次方程的判別式

• 四次多項式${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$的判別式是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned}}}$

二次判別式

二次多項式${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c\,}$的判別式是${\displaystyle D=b^{2}-4ac\,}$。在一元二次方程的求解中，判別式用來判斷方程根的情況，並出現在根的表達式中。

• 如果${\displaystyle D>0\,}$，那麼${\displaystyle P(x)\,}$有兩個相異實根${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$，即${\displaystyle P(x)\,}$的圖像穿過${\displaystyle x\,}$軸兩次。
• 如果${\displaystyle D=0\,}$，那麼${\displaystyle P(x)\,}$有兩個相等實根${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}\,}$，${\displaystyle P(x)\,}$的圖像與${\displaystyle x\,}$軸相切。
• 如果${\displaystyle D<0\,}$，那麼${\displaystyle P(x)\,}$沒有實根，即${\displaystyle P(x)\,}$的圖像與${\displaystyle x\,}$軸沒有交點。

一般多項式的判別式

對於一般的一個多項式

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$，

其判別式等於（差一個係數）以下的${\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)\,}$的矩陣的行列式（見西爾維斯特矩陣）：

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right].}$

這個矩陣的行列式稱為${\displaystyle p(x)\,}$和${\displaystyle p'(x)\,}$的結式，記為${\displaystyle R(p,p')\,}$。${\displaystyle p(x)\,}$的判別式${\displaystyle D(p)\,}$由以下公式給出：

${\displaystyle D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,}$.

例如，在${\displaystyle n=4\,}$的情況下，以上的行列式是：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}}$

這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以${\displaystyle a_{4}\,}$。

作為等價條件，多項式的判別式等於：

${\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}$

其中${\displaystyle r_{1},\cdots ,r_{n}\,}$是多項式${\displaystyle p(x)\,}$的複根（重根按重數計算）：

${\displaystyle {\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}}$

在這個表達式中可以清楚地看到${\displaystyle p\,}$有重根當且僅當判別式為零。

多項式的判別式可以在任意的域中定義，定義方式一樣。帶有根${\displaystyle r_{i}\,}$的表達式仍然有效，只是根要在係數域的某個分裂域中取。

圓錐曲線的判別式

對於以下多項式所定義的圓錐曲線：

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}$

它的判別式為：

${\displaystyle b^{2}-4ac}$

它決定了圓錐曲線的形狀。如果判別式小於0，則是橢圓或圓。如果判別式等於0，則是一條拋物線。如果大於0，則是雙曲線。這個公式不適用於退化的情形（當這個多項式可以因式分解時）。

二次型的判別式

判別式的概念可以推廣到任意特徵不為2的域K上的二次型Q上。一個化簡後的二次型可以表示為一系列的平方和：

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}L_{i}^{2}}$

其中L_i是n個變量的線性組合。這時可以定義Q的判別式為所有a_i的乘積。另外一個定義是Q所對應的矩陣的行列式。

代數數域的判別式

主條目：代數數域的判別式

參見

• 二次函數
• 一元二次方程
• 多項式
• 圓錐曲線
• 二次型

參考資料與外部連結

• 結式與判別式的關係^{[永久失效連結]}
• Mathworld中的文獻（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Planetmath中的文獻