大鸢形二十四面体

在几何学中，大鸢形二十四面体是一种星形二十四面体，由24个凹鸢形组成^[3]，其索引编号为DU₁₇^[4]。大鸢形二十四面体的对偶多面体为非凸大斜方截半立方体^[5]。

大鸢形二十四面体

类别	均匀多面体对偶 星形多面体
对偶多面体	非凸大斜方截半立方体
识别
名称	大鸢形二十四面体
参考索引	DU17
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3/2 4 | 2[1][2]
性质
面	24
边	48
顶点	26
欧拉特征数	F=24, E=48, V=26 （χ=2）
组成与布局
面的种类	24个凹鸢形
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	两种顶点 3个凹鸢形的公共顶点 4个凹鸢形的公共顶点
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
特性
等面、非凸
图像
非凸大斜方截半立方体 （对偶多面体）
查 论 编

性质

大鸢形二十四面体是一种星形多面体，由24个的凹鸢形组成，并具有面可递（或称等面）的特性，这意味著每个面皆全等，且这立体上的任意两个面A和B，透过旋转或镜射这个立体，使A移动到B原来的位置时，其面仍然占据了相同的空间区域^[6]。这个立体共有24个面﹑48条棱和26个顶点。在其26个顶点中，有8个是3个凹鸢形的公共顶点、另外18个是4个凹鸢形的公共顶点^[7]。

面的组成

大鸢形二十四面体由24个全等的凹鸢形（亦称为镖形或箭头形）所组成：

大鸢形二十四面体的其中一面。

大鸢形二十四面体每面涂上不同颜色。

凹鸢形与鸢形同样皆有两组边等长。若对应的对偶多面体边长为单位长，则在与之对应的大鸢形二十四面体中，凹鸢形较长的一组边边长为^[8]：

${\displaystyle {\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\approx 2.6131}$单位

凹鸢形较短的一组边边长为^[8]：

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {10+{\sqrt {2}}}}}{7}}\approx 0.96528}$单位

二面角

大鸢形二十四面体仅有一种二面角，其值为负的十七分之七减四根号二之反馀弦值^[8]：

${\displaystyle \cos ^{-1}\left(-{\frac {7-4{\sqrt {2}}}{17}}\right)\approx 94.5315^{\circ }}$

尺寸

大鸢形二十四面体有两种顶点，分别是8个3个凹鸢形的公共顶点和18个4个凹鸢形的公共顶点。这两组顶点每组分别可以构成一个球。若对应的对偶多面体边长为单位长，则在与之对应的大鸢形二十四面体中，由3个凹鸢形的公共顶点构成的球其半径为^[8]：

${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}}{7}}\approx 0.6398}$单位

另一组顶点，由4个凹鸢形的公共顶点构成的球其半径为二的平方根单位长^[8]：

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.4142}$单位

顶点座标

若一个大鸢形二十四面体其对应的对偶多面体非凸大斜方截半立方体的边长为单位长，且几何中心位于原点，此时对应的大鸢形二十四面体最短边长为${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {10+{\sqrt {2}}}}}{7}}}$单位长^[8]，此时，大鸢形二十四面体的顶点座标为^[9]：

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}}\,,\quad 0\,,\quad 0\right)}$、${\displaystyle \left(0\,,\quad \pm {\sqrt {2}}\,,\quad 0\right)}$、${\displaystyle \left(0\,,\quad 0\,,\quad \pm {\sqrt {2}}\right)}$

${\displaystyle \left(0\,,\quad \pm 1\,,\quad \pm 1\right)}$、${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad 0\,,\quad \pm 1\right)}$、${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad \pm 1\,,\quad 0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}}\,,\quad \pm {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}}\,,\quad \pm {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}}\right)}$

相关多面体与镶嵌

大六角二十四面体与反平行四边形二十四面体的几何中心重合可以组成一个大鸢形二十四面体^[10]。

大六角二十四面体

反平行四边形二十四面体

大鸢形二十四面体

参见

• 鸢形二十四面体
• 反平行四边形二十四面体
• 二十四面体

参考文献

1. Sam Gratrix. Dual 17: great deltoidal icositetrahedron. gratrix.net. [2019-09-07]. （原始内容存档于2008-12-05）.
2. Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002: p.3107. ISBN 9781420035223. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. Vladimir Bulatov. great deltoidal icositetrahedron. bulatov.org. [2019-09-07]. （原始内容存档于2017-12-06）.
4. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208
5. Eric W. Weisstein. Great Deltoidal Icositetrahedron. 密西根州立大学图书馆. [2019-09-07]. （原始内容存档于2019-09-08）.
6. McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822.
7. Chris (Kit) Wallace. Great Deltoidal Icositetrahedron. kitwallace.co.uk. [2019-09-07]. （原始内容存档于2019-09-08）.
8. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Duals: Great Deltoidal Icositetrahedron. dmccooey.com. [2019-09-07]. （原始内容存档于2018-04-23）.
9. Data of Great Deltoidal Icositetrahedron. dmccooey.com. [2019-09-21]. （原始内容存档于2019-09-21）.
10. Robert Webb. Great Hexacronic Icositetrahedron. software3d.com. [2019-09-07]. （原始内容存档于2015-11-21）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 大鳶形二十四面體. MathWorld.