雷诺数

在流体力学中，雷诺数（Reynolds number）是流体的惯性力${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{L}}}$与黏性力${\displaystyle {\frac {\mu v}{L^{2}}}}$的比值，它是一个无量纲量。

雷诺数较小时，黏滞力对流场的影响大于惯性力，流场中流速的扰动会因黏滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性力对流场的影响大于黏滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化容易发展、增强，形成紊乱、不规则的紊流流场。

定义

雷诺数一般表示如下：

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho uL}{\mu }}={\frac {uL}{\nu }}}$

其中

• ${\displaystyle u}$是特征速度（国际单位：m/s）
• ${\displaystyle L}$是特征长度（m）
• ${\displaystyle \mu }$是流体动力黏度（Pa·s或N·s/m²）
• ${\displaystyle \nu }$是流体运动黏度（${\displaystyle \nu =\mu /\rho }$）（m²/s）
• ${\displaystyle \rho }$是流体密度（kg/m³）

对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。特征长度取决于观察的流场情况，以及约定俗成的使用习惯。当观察在水管中流动内流场，或是放在流场中的球体外流场时，前者可能会选择水管直径或是管长，而后者通常使用直径作为特征长度。而半径和直径对于球型、圆形来说其实是同一件事，但是计算上就差了一倍，因此习惯上常用直径来代表。

管内流场

对于在管内的流动，雷诺数定义为：

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho uD}{\mu }}={\frac {uD}{\nu }}={\frac {QD}{\nu A}}}$

式中：

• ${\displaystyle u}$特征速度选择平均流速（国际单位：m/s）
• ${\displaystyle D}$特征长度选择管径（m）
• ${\displaystyle Q}$是体积流量（m³/s）
• ${\displaystyle A}$是横截面积（m²）

其中 ${\displaystyle Q=uA}$。注意到横截面积和管径之间存在制约关系 ${\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}D^{2}}$（其中 ${\displaystyle \pi }$ 是圆周率），因此上式可进一步变形为

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {4Q}{\pi \nu D}}={\frac {4\rho Q}{\pi \mu D}}={\frac {2Q}{{\sqrt {\pi A}}\nu }}={\frac {2\rho Q}{{\sqrt {\pi A}}\mu }}={\frac {2{\sqrt {Qu}}}{{\sqrt {\pi }}\nu }}={\frac {2\rho {\sqrt {Qu}}}{{\sqrt {\pi }}\mu }}}$

注意到质量流量 ${\displaystyle W}$ 满足 ${\displaystyle W=\rho Q}$，因此上式可改写为

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {4W}{\pi \mu D}}={\frac {2W}{{\sqrt {\pi A}}\mu }}={\frac {2{\sqrt {Wu}}}{{\sqrt {\pi }}\mu }}}$

要计算雷诺数，您可以使用此雷诺数计算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）来简化流程。

平板流

对于在两个宽板（板宽远大于两板之间距离）之间的流动，特征长度为两倍的两板之间距离。

流体中的物体

对于流体中的物体的雷诺数，经常用Re_p表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。

流体中的球

对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。在这种情况下，层流只存在于Re=10或者以下。 在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从斯托克斯定律。

球在流体中的雷诺数可以用下式计算，其中${\displaystyle v_{f}}$为流体速度，${\displaystyle v_{s}}$为球速度，${\displaystyle d_{s}}$为球直径，${\displaystyle \rho _{f}}$为流体密度，${\displaystyle \mu _{f}}$为流体粘度^[1]。

${\displaystyle Re={\frac {|v_{f}-v_{s}|d_{s}\rho _{f}}{\mu _{f}}}}$

搅拌槽

对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径D。速度V等于ND,其中N是转速(周/秒)。雷诺数表达为:

${\displaystyle \mathrm {Re} ={{\rho VD} \over {\mu }}={{\rho ND^{2}} \over {\mu }}.}$

当Re>10,000时，这个系统为完全湍流状态。^[2]

过渡流雷诺数

在外流场中由于有边界层的影响，实验中发现当流体流过一定长度后，会由层流过渡到完全为湍流。对于不同的尺度和不同的流体，只要雷诺数达到某个特定值，这种不稳定性都会发生。外流场通常以雷诺数${\displaystyle \mathrm {Re} _{x}\approx 5\times 10^{5}}$代表层流结束, 这里特征长度 x 是从物体前缘起算的距离，特征速度是边界层以外的自由流场速度。

内流场雷诺数${\displaystyle \mathrm {Re} <2100}$为层流状态，${\displaystyle \mathrm {Re} >4000}$为湍流状态，介于2100～4000为过渡流状态。

• 层流(又可称作黏滞流动、线流)：流体沿著管轴以平行方向流动，因为流体很平稳，所以可看作层层相叠，各层间不互相干扰。流体在管内速度分布为抛物体的形状，面向切面的则是抛物线分布。因为是个别有其方向和速率流动，所以流动摩擦损失较小。

• 湍流(又可称作紊流、扰流)：此则是管内流体流动状态为各分子互相激烈碰撞，非直线流动而是漩涡状，流动摩擦损失较大。

管道中的摩擦阻力

穆迪图说明达西摩擦因子f和雷诺数和相对粗糙度的关系

在管道中完全成形（fully developed）流体的压降可以用穆迪图来说明，穆迪图绘制出在不同相对粗糙度下，达西摩擦因子f和雷诺数${\displaystyle {\mathrm {Re} }}$及相对粗糙度${\displaystyle \epsilon /D}$的关系，图中随著雷诺数的增加，管流由层流变为过渡流及湍流，管流的特性和流体为层流、过渡流或湍流有明显关系。

流动相似性

两个流动如果相似的话，他们必须有相同的几何形状和相同的雷诺数和欧拉数。当在模型和真实的流动之间比较两个流体中相应的一点，如下关系式成立：

${\displaystyle \mathrm {Re} _{m}=\mathrm {Re} \;}$

${\displaystyle \mathrm {Eu} _{m}=\mathrm {Eu} \;\quad \quad {\mbox{i.e.}}\quad {p_{m} \over \varrho _{m}{v_{m}}^{2}}={p \over \varrho v^{2}}\;,}$

带m下标的表示模型里的量，其他的表示实际流动里的量。 这样工程师们就可以用缩小尺寸的水槽或者风洞来进行试验，与数值模拟的模型比对数据分析，节约试验成本和时间。实际应用中也许会需要其他的无量纲量与模型一致，比如说马赫数，福禄数。

以下是一些雷诺数的例子^[3][4]：

• 纤毛虫~ 1×10⁻¹
• 最小的鱼 ～1
• 大脑中的血液流 ～1×10²
• 主动脉中的血流~ 1×10³

湍流临界值~ 2.3×10³-5.0×10⁴(对于管内流)到10⁶(边界层)

• 棒球（美国职业棒球大联盟投手投球）~2×10⁵
• 游泳（人）~4×10⁶
• 最快的鱼 ~1×10⁸
• 蓝鲸~ 3×10⁸
• 大型邮轮（伊丽莎白女王2号（英语：Queen_Elizabeth_2））~ 5×10⁹

雷诺数的推导

雷诺数可以从无量纲的非可压纳维－斯托克斯方程推导得来:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .}$

上式中每一项的单位都是加速度乘以密度。无量纲化上式，需要把方程变成一个独立于物理单位的方程。我们可以把上式乘以系数:

${\displaystyle {\frac {D}{\rho V^{2}}}}$

这里的字母跟在雷诺数定义中使用的是一样的。我们设:

${\displaystyle \mathbf {v'} ={\frac {\mathbf {v} }{V}},}$

${\displaystyle \ p'=p{\frac {1}{\rho V^{2}}},}$

${\displaystyle \ \mathbf {f'} =\mathbf {f} {\frac {D}{\rho V^{2}}},}$

${\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {D}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},}$

${\displaystyle \ \nabla '=D\nabla }$

无量纲的纳维-斯托克斯方程可以写为:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho DV}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\mathbf {f'} }$

这里:${\displaystyle {\frac {\mu }{\rho DV}}={\frac {1}{\mathit {Re}}}.}$

最后,为了阅读方便把撇去掉:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p+{\frac {1}{\mathit {Re}}}\nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .}$

这就是为什么在数学上所有的具有相同雷诺数的流场是相似的。

参见

• 磁雷诺数