拉格朗日量

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称拉格朗日函数，简称“拉氏量”，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能^[1]，以方程式表示为

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$；

约瑟夫·拉格朗日

其中，${\displaystyle {\mathcal {L}}}$为拉格朗日量，${\displaystyle T}$为动能，${\displaystyle V}$为势能。

在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程式，稍加运算，即可求得此系统的运动方程式。

拉格朗日量是因数学家和天文学家约瑟夫·拉格朗日而命名。

在场论，若

${\displaystyle S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi (x),\partial \phi (x),x)d^{n}x}$

是作用量，则拉格朗日方程是

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi }}=0}$

概念

拉格朗日量是动能${\displaystyle T}$与势能${\displaystyle V}$的差值：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$。

通常，动能的参数为广义速度${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}}$（符号上方的点号表示对于时间${\displaystyle t}$的全导数），而势能的参数为广义座标${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t}$，所以，拉格朗日量的参数为${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t}$。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日量。假定这些参数（广义座标、广义速度）都互相独立，就可以用拉格朗日方程式来求得系统的运动方程式。

假设一个物理系统的拉格朗日量为${\displaystyle {\mathcal {L}}}$，则此物理系统的运动，以拉格朗日方程式表示为

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0}$；

其中，${\displaystyle t}$是时间，${\displaystyle q_{i}}$是广义坐标，${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$是广义速度。

拉格朗日量与作用量的关系

一个物理系统的作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}}$是一种泛函，以数学方程式定义为

${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt}$；

其中，${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$是系统的拉格朗日量，广义坐标${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)}$是时间${\displaystyle t}$的函数，${\displaystyle t_{1}}$和${\displaystyle t_{2}}$分别为初始时间和终结时间。

假若，作用量的一次变分${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0}$，作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}}$为平稳值，则${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$正确地描述这物理系统的真实演化。从这变分运算，可以推导出拉格朗日方程式

详尽相关导引，请参阅拉格朗日方程式。

对称性与守恒量

主条目：诺特定理

根据诺特定理，根据物理系统的对称性可以通过拉格朗日量导出守恒量。如果物理系统具有时间平移不变性则可以导出能量守恒。导出过程如下，思考拉格朗日量对于时间的全导数：

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$。

将拉格朗日方程式代入，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$。

定义能量函数${\displaystyle {\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)}$为

${\displaystyle {\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}}$，

则能量函数与拉格朗日量有以下含时关系式：

${\displaystyle {\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$。

假若系统具有时间平移不变性，即拉格朗日量显性地与时间无关，${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0}$，则能量函数是个常数：${\displaystyle {\mathit {h}}=E}$。称这常数${\displaystyle E}$为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒^[2]。如果系统具有空间平移不变性，这个系统为动量守恒，守恒量动量为 ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$。

拉格朗日量的逆问题

主条目：拉格朗日力学的逆问题

1941年杰西·道格拉斯指出，对于任意常微分方程组${\displaystyle F_{i}(t,q_{j},q_{j}^{'},q_{j}^{''})=0}$，存在作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}\ =\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt}$使得其欧拉-拉格朗日方程为方程组${\displaystyle F_{i}}$的充分必要条件为：

${\displaystyle {\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}^{''}}}={\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{''}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}^{'}}}-{\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{'}}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}^{'}}}+{\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{'}}}=2{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{''}}})}$

这一条件又称为亥姆霍兹条件。需要注意的是，这里${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$不一定成立，作用量中的${\displaystyle {\mathcal {L}}}$可以是经典拉格朗日的变形。例如：方程${\displaystyle x^{''}+bx^{'}+\omega ^{2}x=0}$，对应的拉格朗日量为${\displaystyle {\mathcal {L}}=e^{bt}({\frac {x^{'2}}{2}}-{\frac {\omega ^{2}x^{2}}{2}})}$^[3]

拉格朗日表述

重要性

拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。虽然拉格朗日只是在寻找一种表述经典力学的方法，他用来推导拉格朗日方程式的平稳作用量原理，现在已被学术界公认为在量子力学也极具功用。

优点

• 拉格朗日表述不会被任何坐标系统捆绑住。拉格朗日表述使用广义坐标来描述系统的空间参数。它所涉及的物理量是动能与势能，这些物理量的值不会随广义坐标的选择而改变。因此，对于系统的种种约束，可以选择一组最合适的广义坐标，来计算问题的解答。

• 拉格朗日表述能够简易地延伸至其他学术领域。电路学、量子力学、粒子物理学、等等，都可以用拉格朗日表述来分析。

• 如果用同样的表述可以分析不同学术领域的物理系统，这些系统必定有结构上的类推。在一个学术领域的新发现，意味著很可能在另一个学术领域会有类似的现象。

可略坐标和守恒定律

拉格朗日量有一个优良的性质，那就是守恒定律可以很容易地从它的表达式读出来。例如，假设拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$跟某广义速度${\displaystyle {\dot {q}}_{2}}$有关，而跟广义坐标${\displaystyle q_{2}}$无关，则对应的广义动量${\displaystyle p_{2}}$是一个守恒量。这种坐标称为“可略坐标”，或“循环坐标”。更详细地说，拉格朗日量的形式为

${\displaystyle {\mathcal {L}}(q_{1},q_{3},q_{4},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},{\dot {q}}_{4},\dots ;t)}$。

直接检视，就可以发觉${\displaystyle {\mathcal {L}}}$跟${\displaystyle q_{2}}$无关，因此可以推断${\displaystyle p_{2}}$是一个守恒量。

以此类推，假设，时间${\displaystyle t}$不在${\displaystyle {\mathcal {L}}}$的表达式里面，则哈密顿量守恒，即能量守恒。这种物理行为是诺特定理的一个特别案例。关于能量守恒问题，稍后会有更详细解说。

经典力学实例

假设，在三维空间里，一个运动中的粒子的动能为${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {x_{1}}}^{2}+{\dot {x_{2}}}^{2}+{\dot {x_{3}}}^{2})}$，势能为${\displaystyle V(r)}$，则拉格朗日量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }})={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(r)}$；

其中，${\displaystyle m}$是粒子质量，${\displaystyle \mathbf {r} }$是位置向量，${\displaystyle v}$是粒子的速度。

直角坐标系

采用直角坐标系。那么，拉格朗日方程式就是

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3}$；

其中，${\displaystyle x_{i}}$是位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$的第${\displaystyle i}$个直角坐标分量。

那么，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)=m{\ddot {x}}_{i}}$、

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=-\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}}$。

这物理系统的运动方程式为

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}+{\boldsymbol {\nabla }}V=0}$。

由于势能对于位置的负梯度是作用力：${\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(r)}$，所以，

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$。

这方程式与牛顿第二定律方程式完全相同。由此可以观察出，拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等。

能量函数${\displaystyle {\mathit {h}}}$为

${\displaystyle {\mathit {h}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x}}_{i}-{\mathcal {L}}=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(\mathbf {r} )=T+V=E}$，

由于拉格朗日量显性地与时间无关，能量函数${\displaystyle {\mathit {h}}}$是个常数${\displaystyle E}$。

球坐标系

假设选择球坐标系，则拉格朗日量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}(r,\ \theta ,\ \varphi ,\ {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\varphi }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}$；

其中，${\displaystyle r}$是径向距离，${\displaystyle \theta }$是天顶角，${\displaystyle \varphi }$是方位角。

稍加运算，得到运动方程式为：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}=m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {dV}{dr}}=0}$、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0}$、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0}$。

特别注意，${\displaystyle {\mathcal {L}}}$跟${\displaystyle \varphi }$无关。所以，${\displaystyle \varphi }$是可略坐标，角动量的z-分量${\displaystyle L_{z}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}}$是常数。

检验粒子的拉格朗日量

假定检验粒子的质量和电荷超小，其对于外在系统的影响可以忽略。检验粒子时常可以想像为简单的质点粒子，只拥有质量和电荷性质。像电子或上夸克一类的真实粒子具有更复杂的性质，它们的拉格朗日量含有更多项目。

狭义相对论里的拉格朗日量

在狭义相对论的四维空间里，一个移动中的粒子的相对论性拉格朗日量可以写为^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-V}$；

其中，${\displaystyle m}$是粒子的静质量，${\displaystyle c}$是光速，${\displaystyle v}$是粒子的速度。

其拉格朗日方程式为

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})+{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=0}$；

其中，${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$是劳仑兹因子。

注意到动量${\displaystyle p_{i}=\gamma m{\dot {x}}_{i}}$、作用力${\displaystyle F_{i}=-\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}}$。将这些公式代入拉格朗日方程式，就可复制牛顿第二定律的方程式：

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$。

因此，这拉格朗日量被认定为正确无误。

这粒子的广义动量${\displaystyle p_{i}}$定义为

${\displaystyle p_{i}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=\gamma m{\dot {x}}_{i}}$。

• 假设这物理系统的势能为零，这粒子是自由粒子，则此系统的能量函数${\displaystyle h}$为

${\displaystyle h=\sum _{i=1}^{3}\gamma m{\dot {x}}_{i}^{2}-{\mathcal {L}}=\gamma mv^{2}+mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\gamma mc^{2}}$。

这是质能方程式：粒子的总能量等于其质量乘以光速平方

• 假设粒子速度远小于光速，则拉格朗日量的动能部分可以近似为

${\displaystyle -mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\approx -mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}\right)=-mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}=-mc^{2}+T}$。

静质量的能量${\displaystyle mc^{2}}$是个常数，可以忽略（其变分等于零）。相对论性拉格朗日量又变回经典拉格朗日量：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$。

电动力学里的相对论性拉格朗日量

一个移动于电磁场的带电粒子的相对论性拉格朗日量可以写为

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q\phi (\mathbf {r} )+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle q}$是带电粒子的电荷量，${\displaystyle \phi }$是电势，${\displaystyle \mathbf {A} }$是磁向量势。

其拉格朗日方程式为

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})+q{\frac {dA_{i}}{dt}}-q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}-q\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}=0}$。

所以，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})=-q{\frac {dA_{i}}{dt}}+q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+q\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}}$。

注意到作用力${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})}$，电场${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi }$，磁场${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$。将这些公式代入上述方程式，经过一番运算，就可以得到劳仑兹力方程式：

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$。

这拉格朗日量可以复制出劳仑兹力方程式。因此，这拉格朗日量被认定为正确无误。

协变的拉格朗日量

前面这些拉格朗日量都不具有协变形式，当变换坐标系时，拉格朗日量的形式可能会有所改变。为了确保这形式不会改变，必须将拉格朗日量写为协变形式。

对于自由粒子，作用量${\displaystyle {\mathcal {A}}}$为

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ dt}$；

其中，${\displaystyle t_{1}}$和${\displaystyle t_{2}}$分别是初始时间和终结时间。

为了要使得拉格朗日量具有协变形式，必须引用张量来表达。采用爱因斯坦求和约定，注意到四维速度与自己的内积：

${\displaystyle U^{\alpha }U_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=\gamma ^{2}c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$；

其中，${\displaystyle U^{\alpha }=X^{\prime \mu }={\frac {dX^{\alpha }}{d\tau }}=\gamma (c,v_{1},v_{2},v_{3})}$是四维速度，是四维坐标${\displaystyle X^{\alpha }=(ct,x_{1},x_{2},x_{3})}$对于固有时${\displaystyle \tau }$的导数（撇号表示对于固有时${\displaystyle \tau }$的导数）。

将积分元素从微小时间元素${\displaystyle dt}$改变为微小固有时元素${\displaystyle d\tau }$，由于${\displaystyle dt=\gamma d\tau }$，协变的作用量可以写为

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{\frac {mc}{\gamma }}{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}\ \gamma d\tau =\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-mc{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}\ d\tau }$。

协变的拉格朗日量${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}}$变为^[2]

${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}=\gamma {\mathcal {L}}=-mc{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}=-mc{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}}$；

其中，${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$是闵可夫斯基度规。

其拉格朗日方程式为

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial {X}^{\prime \mu }}}\right)-{\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial X^{\mu }}}=-\ {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {mc{X}_{\mu }^{\prime }}{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}}\right)=0}$。

注意到约束${\displaystyle U^{\alpha }U_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}}$，这粒子只能运动于四维速度空间内的特定的三维曲面。将这约束代入上述方程式，可以正确地复制自由粒子的运动方程式。

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(m{X}_{\mu }^{\prime })=m{X}_{\mu }^{\prime \prime }=0}$。

电动力学里的相对论性拉格朗日量的协变表述

现在假设这粒子是移动于电磁场的带电粒子。电磁场的协变位势可以写为

${\displaystyle q\phi (\mathbf {r} )-q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=qU^{\alpha }\mathbb {A} _{\alpha }(X^{\beta })/\gamma }$；

其中，${\displaystyle \mathbb {A} _{\alpha }=(\phi /c,-A_{1},-A_{2},-A_{3})}$是电磁四维势。

协变的拉格朗日量${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}}$是^[2]

${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}=\gamma {\mathcal {L}}=-mc{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}-qU^{\alpha }\mathbb {A} _{\alpha }(X^{\beta })}$。

其拉格朗日方程式为

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial {X}^{\prime \mu }}}\right)-{\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial X^{\mu }}}=-{\frac {d}{d\tau }}(m{X}_{\mu }^{\prime }+q\mathbb {A} _{\mu })+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}=0}$。

经过一番运算，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}m{X}_{\mu }^{\prime \prime }&=-q{\frac {d}{d\tau }}(\mathbb {A} _{\mu })+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}\\&=-q{\frac {dX^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {\partial (\mathbb {A} _{\mu })}{\partial X^{\alpha }}}+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}\\&=qU^{\alpha }\left({\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}-{\frac {\partial (\mathbb {A} _{\mu })}{\partial X^{\alpha }}}\right)\\&=qU^{\alpha }F_{\mu \alpha }\\\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle F_{\mu \alpha }}$是电磁张量。

这正是劳仑兹力方程式的协变形式。总结，协变的拉格朗日方程式可以复制出协变的劳仑兹力方程式。

场论例子

电磁学

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\left(-{\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \star \mathbf {F} +\mathbf {A} \wedge \star \mathbf {J} \right)}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$

量子电动力学

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }=i\hbar c{\bar {\psi }}{D}\!\!\!\!/\ \psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

量子色动力学

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}\left(i\hbar c{\bar {\psi }}_{n}{D}\!\!\!\!/\ \psi _{n}-m_{n}c^{2}{\bar {\psi }}_{n}\psi _{n}\right)-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$

杨-米尔斯场论

包括QED、量子色动力学、等

陈-西蒙斯理论

广义相对论

主条目：爱因斯坦-希尔伯特作用量

广义相对论中拉格朗日量密度为：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$

其中，${\displaystyle \Lambda }$为宇宙学常数，${\displaystyle R}$是里奇曲率张量和度规张量的缩并。${\displaystyle L_{EH}}$被称为爱因斯坦-希尔伯特作用量。广义相对论的拉格朗日量可以写成类似于杨-米尔斯方程的形式，这被称为爱因斯坦-杨-米尔斯作用量。这是注意到大多数微分几何在具有仿射联络和李群的纤维丛上表现得很好后得到的结果。通过加入对称群${\displaystyle SO(3,1)}$就可以得到上面的结果^[4][5]。

通过对${\displaystyle g_{\mu \nu }}$变分得到相应的欧拉-拉格朗日方程：

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$

这也被称为爱因斯坦场方程。

${\displaystyle T_{\mu \nu }}$是能动张量，定义如下：

${\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$

其中，${\displaystyle g}$为度规张量的行列式。在广义相对论中，拉格朗日密度积分时的提及元变为${\displaystyle {\sqrt {-g}}d^{4}x}$。这使得积分和坐标无关，因为这个平方根就是雅可比行列式。负号是为了使根号下为正。

相对论

主条目：弯曲时空中的麦克斯韦方程组

在广义相对论下，包含爱因斯坦-希尔伯特作用量电磁场的拉格朗日密度为： ${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein-Hilbert}}\end{aligned}}}$ 纯的电磁场拉格朗日密度正是物质的拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}_{matter}}$。将弯曲时空${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$替换闵氏时空拉格朗日量中的闵可夫斯基矩阵可以简单得到这个形式。我们可以得到在电磁场中的爱因斯坦场方程。能动张量为：

${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$ 能动张量是无迹的：

${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$

如果同时对爱因斯坦场方程两边同时缩并：

${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$

这意味着曲率张量也是无迹的，方程可以化简为：

${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$

另外，弯曲时空的麦克斯韦方程组为：

${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$

其中，${\displaystyle D_{\mu }}$为协变导数。对于四维时空来说，我们可以假设四维电流为0, ${\displaystyle j^{\mu }=0}$。在自由空间球对称物质分布条件下同时解这两个方程，得到的解是赖斯纳-努德斯特伦度规，在自然单位制下带有电荷量为${\displaystyle Q}$的黑洞度规可以写成下面的形式：

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}}$

一个可能的统一电磁场和引力场的理论是卡鲁扎-克莱因理论。^[4]卡鲁扎-克莱因理论考虑了一个类似于杨-米尔斯方程的仿射丛，作用量可以分为4维部分和1维部分。不幸的是该理论未能包含全部的标准模型。

参见

• 哈密顿量
• 哈密顿原理
• 拉格朗日力学
• 拉格朗日方程式
• 哈密顿力学
• 最小作用量原理
• 变分法
• 诺特定理
• 泛函导数
• 泛函积分（路径积分表述）

参考文献

1. Torby, Bruce. Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. 1984. ISBN 0-03-063366-4 （英语）.
2. Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley: pp. 61, 312–324, 1980, ISBN 0201657023 （英语） 引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. Kushagra Nigam; Kinjal Banerjee. A Brief Review of Helmholtz Conditions. arxiv. 2016.
4. David Bleecker, (1981) "Gauge Theory and Variational Principles" Addison-Wesley
5. Jurgen Jost, (1995) "Riemannian Geometry and Geometric Analysis", Springer