在学术界内,关于球座标系的标记有好几个不同的约定。按照国际标准化组织建立的约定(ISO 31-11),球坐标标记为
,其中
代表径向距离,
代表极角,
代表方位角,极角也称为倾斜(inclination)角、法线角或天顶(zenith)角。这种标记通常为物理界的学者所采用,在世界各地有许多使用者,本条目采用的是物理学界标记约定。方位角(azimuth)、高度(altitude或elevation)角和天顶的概念出自关于天球的地平坐标系。在极坐标系中,角度坐标
常被称为极角[1]。
在数学界,球座标标记也是
,但倾斜角与方位角的标记正好相反:
代表方位角,
代表倾斜角。数学界的标记被认为“提供了对常用的极坐标系记号的逻辑扩展,
仍是在xy-平面上的角度而
是在这个平面之外的角度”[2];一些作者将倾斜角列在方位角之前而写为
,还有作者对径向距离使用
而写为
或
[2]。
三维空间里,有各种各样的座标系。球座标系只是其中一种。球座标系与其他座标系的变换需要用到特别的方程式。
假定
是从原点到P点的连线与正z-轴的夹角,球座标系的标度因子分别为:
、
、
。
微分公式:
- 线元素是一个从
到
的无穷小位移,表示为公式:
;
- 其中的
是在
的各自的增加的方向上的单位矢量。
- 面积元素1:在球面上,固定半径,天顶角从
到
,方位角从
到
变化,公式为:
。
- 面积元素2:固定天顶角
,其他两个变量变化,则公式为:
。
- 面积元素3:固定方位角
,其他两个变量变化,则公式为:
。
- 体积元素,径向座标从
到
,天顶角从
到
,并且方位角从
到
的公式为:
。
微分算子,如
、
、
、
,都可以用
座标表示,只要将标度因子代入在正交座标系条目内对应的一般公式,即可得到如下公式:
。
。
。
。
正如二维直角座标系专精在平面上,二维球座标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里,我们认定这圆球是个单位圆球;其半径是1。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵问题上,这方法是非常有用的。
球座标系适用于分析一个对称于点的系统。举例而言,一个圆球,其直角座标方程式为
,可以简易的用球座标系
来表示。
用来描述与分析拥有球状对称性质的物理问题,最自然的座标系,莫非是球座标系。例如,一个具有质量或电荷的圆球形位势场。两种重要的偏微分方程式,拉普拉斯方程与亥姆霍兹方程,在球座标里,都可以成功的使用分离变数法求得解答。这种方程式在角部分的解答,皆呈球谐函数的形式。