布朗筛法

在数论中，布朗筛法（Brun sieve；或称布朗纯筛法 (Brun's pure sieve)）是一个用以估计满足特定条件的“筛选过的”正整数集大小的技巧，而这些条件一般都以同馀表示。该筛法由维戈·布朗于1915年发展，并在后来由其他学者推广为筛法基本引理。

描述

在筛法的术语中，布朗筛法是一种“组合筛法”，也就是一种透过小心应用容斥原理进行“筛选”的筛法。在正式讨论布朗筛法前，先定义一些表记：

设${\displaystyle A}$为正整数的有限集，而${\displaystyle P}$则为质数的集合，然后设${\displaystyle A_{p}}$是${\displaystyle A}$中可为${\displaystyle P}$中的质数${\displaystyle p}$整除的数组成的集合；此外，可设${\displaystyle d}$为${\displaystyle P}$中的不同质数的乘积，在这种状况下，可相应地定义${\displaystyle A_{d}}$为${\displaystyle A}$中可被${\displaystyle d}$整除的数的集合，也就是与${\displaystyle d}$的质因数${\displaystyle p}$相应的集合${\displaystyle A_{p}}$的交集；而${\displaystyle A_{1}}$也可相应地定义成${\displaystyle A}$本身。

设${\displaystyle z}$为任意实数，那么该筛法的目标就是估计下式： $${\displaystyle S(A,P,z)={\biggl \vert }A\setminus \bigcup _{p\in P \atop p\leq z}A_{p}{\biggr \vert },}$$

在上式中，${\displaystyle |X|}$是集合${\displaystyle X}$的元素个数。

此外，假若${\displaystyle |A_{d}|}$的元素个数可由下式估计的话（下式中，${\displaystyle w}$是一个积性函数，而${\displaystyle R_{d}}$是与之相应的误差项）： $${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}|A|+R_{d},}$$

那就可定义下式： $${\displaystyle W(z)=\prod _{p\in P \atop p\leq z}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right).}$$

布朗纯筛法

以下内容取自Cojocaru & Murty （页面存档备份，存于互联网档案馆）的定理6.1.2.，并使用上述的表记。

若以下条件成立：

• 对于任意由${\displaystyle P}$中的质数构成的无平方因子数${\displaystyle d}$而言，有${\displaystyle |R_{d}|\leq w(d)}$
• 存在常数${\displaystyle C,D,E}$使得对于任意实数${\displaystyle z}$而言，有${\displaystyle \sum _{p\in P \atop p\leq z}{\frac {w(p)}{p}}<D\log \log z+E.}$
• 对于任意${\displaystyle P}$中的质数${\displaystyle p}$，有${\displaystyle w(p)<C}$

则有以下的关系式： $${\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)}$$

其中${\displaystyle X}$是${\displaystyle A}$的元素个数、${\displaystyle b}$是任意正整数，而${\displaystyle O}$则是大O符号。

此外，设${\displaystyle x}$为${\displaystyle A}$的最大元，那在存在足够小的${\displaystyle c}$使得${\displaystyle \log z<c\log x/\log \log x}$的状况下，有下列关系式： $${\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).}$$

应用

• 布朗定理：所有孪生质数的倒数和收敛。
• 施尼勒尔曼密度：所有的偶数至多${\displaystyle C}$个质数之和。${\displaystyle C}$的大小可小至6。
• 存在有无限多个彼此差为2的整数对，而在该整数对中的两个数都至多是九个质数的乘积。
• 所有的偶数都可表示成两个至多是九个质数乘积的数之和。

最后两个定理弱于陈氏定理及弱哥德巴赫猜想。

参考资料

• Viggo Brun. Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 1915, B34 (8).
• Viggo Brun. La série ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{59}}+{\tfrac {1}{61}}+\cdots }$ où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie. Bulletin des Sciences Mathématiques. 1919, 43: 100–104, 124–128. JFM 47.0163.01.
• Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. 2005: 80–112. ISBN 0-521-61275-6.
• George Greaves. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer-Verlag. 2001: 71–101. ISBN 3-540-41647-1.
• Heini Halberstam; H.E. Richert. Sieve Methods. Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6.
• Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. 1976. ISBN 0-521-20915-3..