势 (数学)

势（英语：Cardinality）在数学里是指如果存在着从集合A到集合B的双射，那么集合A与集合B等势，记为A~B。一个有限集的元素个数是一个自然数，势标志着该集合的大小。对于有限集，势为其元素的数量。比较无穷集里元素的多寡之方法，可在集合论里用集合的等势和某集合的势比另一个集合大这两个概念来达到目的。^{[注 1]}

集合比较

设${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$为集合。称它们等势，指的是存在${\displaystyle A}$到${\displaystyle B}$一个双射${\displaystyle f}$，即${\displaystyle A}$中的元素可以与${\displaystyle B}$中的元素一一对应起来。例子：集合${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$与${\displaystyle B=\{}$苹果,马,园丁${\displaystyle \}}$等势，这是因为“${\displaystyle 1\rightarrow }$苹果, ${\displaystyle 2\rightarrow }$马, ${\displaystyle 3\rightarrow }$园丁”是两个集合之间的一一对应。不过在这个例子中, 不用等势的概念也知道它们的元素不多不少, 是3个。对于无穷集可举一个例子如下：正偶数集合${\displaystyle E=\{2,4,6,\ldots \}}$和自然数集合${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$等势，这是因为由公式${\displaystyle f(n)=2n}$所决定的函数${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow E}$是一个由${\displaystyle \mathbb {N} }$到${\displaystyle E}$的双射。

等势的概念只能说明两个（有限或无限）集合的元素是否“一样多”的问题。那么以下说明集合${\displaystyle A}$的元素是否比集合${\displaystyle B}$“多”的问题。称“集合${\displaystyle A}$的势不小于集合${\displaystyle B}$的势”，若存在一个由${\displaystyle B}$到${\displaystyle A}$的单射。称“集合${\displaystyle A}$的势大于集合${\displaystyle B}$的势”，若${\displaystyle A}$的势不小于${\displaystyle B}$的势，但${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$不等势。也就是说，存在一由${\displaystyle B}$到${\displaystyle A}$的单射，但它们之间不存在一一对应。例如，实数集合${\displaystyle \mathbb {R} }$的势严格大于自然数集合${\displaystyle \mathbb {N} }$的势，因为内含映射${\displaystyle i:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }$是单射的，且可证明不存在一由${\displaystyle \mathbb {N} }$到${\displaystyle \mathbb {R} }$的双射函数。

可数与不可数集合

假设选择公理成立，三分法就会成立于所有的势中，所以可以有以下的定义。

• 任何势小于自然数集的集合称为有限集合。
• 任何势和自然数集一样的集合称为可数无限集合。
• 任何势大于自然数集的集合称为不可数集合。

基数

主条目：基数 (数学)

注意，到目前为止，我们只是从函数的角度去定义势的概念：我们没有把一个集合的势真正地定义为一具体的对象。以下将略述此一处理方法。

等势可被视为在所有集合的类上的等价关系。一集合${\displaystyle A}$在此关系下的等价类包含所有和${\displaystyle A}$等势的集合。然后，接下来可以有两种定义“一集合的势”的处理方式。

• 直接把一集合${\displaystyle A}$的势定义成其在等势关系下的等价类。

但这样得出的等价类事实上是真类而不是集合，因此一般不采用这种定义。

• 给每个等价类指定一个集合来代表它，将其定义为集合的势。

最一般的选择是冯·诺伊曼基数指派。它通常被取为公理集合论中基数的定义。

集合${\displaystyle S}$的势通常标记为${\displaystyle |S|}$。其幂集的势则通常标记为${\displaystyle 2^{|S|}}$。

假定选择公理，无限集合的势可标记为

${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<...}$（对每一个序数${\displaystyle \alpha }$，${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$是第一个大于${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$的势）。

自然数集的势标记为${\displaystyle \aleph _{0}}$，而实数集的势则被标记为${\displaystyle \mathbf {c} }$。可以证明${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$。（请看对角论证法）。连续统假设断言不存在介于实数集的势和自然数集的势之间的基数，亦即${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}}$。

例子和其他性质

• 集合${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$与集合${\displaystyle Y=\{}$苹果, 橘子, 桃子${\displaystyle \}}$有同样的势，因为它们都有三个元素。

• 若对于两个集合${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$有${\displaystyle |X|}$ ≤ ${\displaystyle |Y|}$，则存在一${\displaystyle Y}$的子集${\displaystyle Z}$使得${\displaystyle |X|=|Z|}$。

• 若对于集合${\displaystyle Y}$有${\displaystyle |Y|=\mathbf {c} }$，则称${\displaystyle Y}$具有连续统的势。

• 可以证明不存在一集合${\displaystyle X}$，使得对任一集合${\displaystyle Y}$，${\displaystyle |Y|}$ ≤ ${\displaystyle |X|}$。

证明：假设存在此一集合${\displaystyle X}$。然后设${\displaystyle Y}$为${\displaystyle X}$的幂集，${\displaystyle |Y|=2^{|X|}}$，然而${\displaystyle |Y|>|X|}$（请看康托尔定理），导出矛盾。

另见

• 基数
• 连续统假设
• 艾礼富数

注释

1. 在某些语境下（尤其是本文），势的概念只用于比较两个无穷集的元素多寡，而不能直接指称某集合的“元素个数”。要达到后一目的，可以使用基数的概念。在一般语境下，尤其是当一切都定义好了以后，也经常使用势作为基数的同义词。