逻辑斯谛函数 （英语：logistic function ）是一种常见的S型函数 ，其函数图像称为逻辑斯谛曲线 （英语：logistic curve ）。简单的逻辑斯谛函数可用下式表示：
f
(
x
)
=
L
1
+
e
−
k
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}
标准逻辑斯谛函数，其中
L
=
1
,
k
=
1
,
x
0
=
0
{\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}
其中：
x0 x L k [ 1] 当x f(x) x f(x)
逻辑斯谛函数应用领域广泛，包括生物学 （特别是生态学 ）、数理生物学 、化学 、人口学 、经济学 、地球科学 、数学心理学 、概率 、社会学 、政治学 、语言学 、统计学 和人工神经网络 等。例如，广义逻辑斯谛曲线 P ）的S形曲线。起初阶段大致是指数增长 ；然后随着开始变得饱和，增长变慢；最后，达到成熟时增长停止。
逻辑斯谛曲线的原始图像，与指数 曲线对比 逻辑斯谛函数是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒 阿道夫·凯特勒 的指导下，通过调整指数增长模型，将其设计为人口增长 模型。[ 2] [ 1] [ 3] 比利时 人口增长模型中的修正项。[ 4]
增长的初始阶段近似于指数增长 （几何级数 ）；然后，随着增长逐渐饱和，曲线放缓至接近线性，在成熟阶段，增长停止。原本选用“逻辑斯谛”（法语：logistique ，英语：logistic ）一词时，韦吕勒没有解释其原由，但这可能是为了区别于对数曲线 [ 5] [ a] 古希腊语 λογῐστῐκός （logistikós ），是指古希腊数学 的一个分支。[ b] 逻辑学 （logic）和军队后勤/物流（logistics，自法语logis
标准逻辑斯谛函数的参数设定为
k
=
1
{\displaystyle k=1}
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
L
=
1
{\displaystyle L=1}
f
(
x
)
=
1
1
+
e
−
x
=
e
x
e
x
+
1
=
1
2
+
1
2
tanh
(
x
2
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)}
实际上，由于指数函数
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}}
极限 ，x
标准逻辑斯谛函数具有如下对称性：
1
−
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle 1-f(x)=f(-x)}
因此，
x
↦
f
(
x
)
−
1
/
2
{\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}
奇函数 。
标准逻辑斯谛函数可视为双曲正切函数的偏移和缩放：
f
(
x
)
=
1
2
+
1
2
tanh
(
x
2
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)}
或
tanh
(
x
)
=
2
f
(
2
x
)
−
1.
{\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}
推导过程如下：
tanh
(
x
)
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
x
⋅
(
1
−
e
−
2
x
)
e
x
⋅
(
1
+
e
−
2
x
)
=
f
(
2
x
)
−
e
−
2
x
1
+
e
−
2
x
=
f
(
2
x
)
−
e
−
2
x
+
1
−
1
1
+
e
−
2
x
=
2
f
(
2
x
)
−
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}}
标准逻辑斯谛函数的导数 称为逻辑斯谛分布
f
(
x
)
=
1
1
+
e
−
x
=
e
x
1
+
e
x
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}
d
d
x
f
(
x
)
=
e
x
⋅
(
1
+
e
x
)
−
e
x
⋅
e
x
(
1
+
e
x
)
2
=
e
x
(
1
+
e
x
)
2
=
f
(
x
)
(
1
−
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}
逻辑斯谛分布的均值为x0 π2 /3k 2
标准逻辑斯谛函数的不定积分 可用换元积分法 求得，令
u
=
1
+
e
x
{\displaystyle u=1+e^{x}}
f
(
x
)
=
e
x
1
+
e
x
=
u
′
u
{\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}}
积分常数 ，得到其不定积分：
∫
e
x
1
+
e
x
d
x
=
∫
1
u
d
u
=
ln
u
=
ln
(
1
+
e
x
)
.
{\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}
在人工神经网络 中，它称作线性整流函数 ，（缩放后）可视为平滑近似的斜坡函数 ，类似于逻辑斯谛函数（缩放后）是平滑近似的单位阶跃函数 。
标准逻辑斯谛函数是简单的一阶非线性常微分方程 的解：
d
d
x
f
(
x
)
=
f
(
x
)
(
1
−
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}
边界条件 为
f
(
0
)
=
1
/
2
{\displaystyle f(0)=1/2}
逻辑斯谛映射 的连续版本。注意倒数逻辑斯谛函数是简单的一阶线性常微分方程的解。[ 6]
x
n
+
1
=
k
x
n
(
1
−
x
n
)
{\displaystyle x_{n+1}=kx_{n}(1-x_{n})}
是混沌理论 的一个模型。[ 7] [ 8] x 1 =0.3k
当k
当k
k k k k
x
n
+
1
=
k
x
n
(
1
−
x
n
2
)
{\displaystyle x_{n+1}=kx_{n}(1-x_{n}^{2})}
皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒（1804–1849） 逻辑斯谛方程的一个典型应用是种群（或人口）增长的通用模型（另见种群动态 皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒 马尔萨斯 的论文《An Essay on the Principle of Population 》后发表的，该论文描述了简单（无约束条件）指数增长 的马尔萨斯模型 。韦吕勒推导出他的逻辑斯谛方程来描述生物种群的自限性增长。该方程于1911年被A. G. McKendrick用于描述肉汤中细菌的生长，他使用非线性参数估计的方法进行了实验测试。[ 9] 约翰斯·霍普金斯大学 的Raymond Pearl（1879–1940）和Lowell Reed（1888–1966）于1920年使用该方程后，这一方程有时也称为Verhulst-Pearl方程。[ 10] 阿弗雷德·洛特卡 在1925年再次推导出该方程，称其为种群增长律（law of population growth）。
令P N t 微分方程 表示：
d
P
d
t
=
r
P
(
1
−
P
K
)
,
{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}
其中常数r 种群（人口）增长率 ，K 环境承载力 。
方程中，早期的几乎无阻力的增长率来自+rP r P -rP2 /K P K P P0
P
(
t
)
=
K
P
0
e
r
t
K
+
P
0
(
e
r
t
−
1
)
=
K
1
+
(
K
−
P
0
P
0
)
e
−
r
t
,
{\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}
其中：
lim
t
→
∞
P
(
t
)
=
K
.
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K.}
可以说，K P
P
(
0
)
>
0
{\displaystyle P(0)>0}
P
(
0
)
>
K
{\displaystyle P(0)>K}
生态学中有时称一个物种 是r K 自然选择 过程形成的生物生命周期 策略。选取变量的量纲 ，使n
τ
{\displaystyle \tau }
1
/
r
{\displaystyle 1/r}
d
n
d
τ
=
n
(
1
−
n
)
.
{\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}
逻辑斯谛函数在统计学中有多种应用。例如，它们是逻辑斯谛分布 累积分布函数 ，它们可用于模拟国际象棋 棋手在埃洛等级分系统 下击败对手的概率。以下是一些更具体的案例。
逻辑斯谛回归 使用逻辑斯谛函数来模拟一个事件的概率p 解释变量 的影响：一个案例模型如下
p
=
f
(
a
+
b
x
)
,
{\displaystyle p=f(a+bx),}
其中x a b f
逻辑斯谛回归和其他对数线性模型 机器学习 。将逻辑斯谛函数推广至多元输入情景即为Softmax激活函数 ，用于多元罗吉斯回归
在医学上，逻辑斯谛微分方程可用于肿瘤生长的建模。这一用法可视为上述的生态学/人口学模型的延伸。以
X
(
t
)
{\displaystyle X(t)}
t
{\displaystyle t}
X
′
=
r
(
1
−
X
K
)
X
,
{\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}
属于以下类型：
X
′
=
F
(
X
)
X
,
F
′
(
X
)
≤
0
,
{\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}
其中
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
如果采用化疗产生对数杀伤效果，则等式修改为
X
′
=
r
(
1
−
X
K
)
X
−
c
(
t
)
X
,
{\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}
其中
c
(
t
)
{\displaystyle c(t)}
c
(
t
)
{\displaystyle c(t)}
T
{\displaystyle T}
1
T
∫
0
T
c
(
t
)
d
t
>
r
→
lim
t
→
+
∞
x
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}
即，如果平均治疗引起的肿瘤死亡率大于基线增殖率，则疾病能被根除。当然，这是一个过于简化的生长和治疗模型（例如没有考虑克隆抗性现象）。
在人群中未被免疫的新型传染性病原体，通常会在早期呈指数级传播，有大量易感个体尚未被感染。例如2020年初，导致2019冠状病毒病 的SARS-CoV-2 病毒在多国的感染过程中呈现出指数级增长。[ 12] [ 13]
逻辑斯谛函数或相关的函数（例如龚珀兹函数 [ 14] [ 15] [ 16]
流行病模型中的广义逻辑斯谛曲线 广义逻辑斯谛函数 [ 17]
f
(
t
;
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
,
ξ
)
=
θ
1
[
1
+
ξ
exp
(
−
θ
2
⋅
(
t
−
θ
3
)
)
]
1
/
ξ
{\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}}
其中
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
{\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}
ξ
{\displaystyle \xi }
f
{\displaystyle f}
ξ
{\displaystyle \xi }
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1}
ξ
{\displaystyle \xi }
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}}
θ
3
{\displaystyle \theta _{3}}
(
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
)
{\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}
(
10000
,
0.2
,
40
)
{\displaystyle (10000,0.2,40)}
受COVID-19严重影响的40个国家的传染曲线外推和截至5月14日的总体（人口）平均值 在流行病学建模中，使用类似广义逻辑斯谛函数的增长函数的好处之一是它相对容易应用于多级模型 框架，其中来自不同地理区域的信息可以汇总在一起。
自催化反应 中，反应物和产物的浓度遵循逻辑斯谛函数。例如燃料电池 阴极中不含铂族金属 （PGM-free）的氧还原反应催化剂的劣化遵循逻辑斯谛衰减函数，[ 18]
费米子 在热平衡系统的能量状态上的统计分布遵循逻辑斯谛函数。特别地，根据费米-狄拉克统计 ，它是每个可能的能级被一个费米子占据的概率分布。
语言学中，逻辑斯谛函数可用于对语言变化 进行建模：[ 19]
逻辑斯谛函数可用于描绘一项发明创新在其生命周期内扩散的过程 .
韦吕勒首先提到算术级数和几何级数，并将几何增长曲线称为“对数曲线 / logarithmic curve”（但须注意，现代术语称之为“指数 曲线 / exponential curve”）。然后他把他提出的曲线叫做逻辑斯谛（logistic），以区别于对数（logarithmic），并在他论文的图中比较了“对数”曲线和逻辑斯谛曲线。
在古希腊，λογῐστῐκός 指实务的计算与会计，而ἀριθμητική （arithmētikḗ ἀριθμητική 的arithmetic。
Shulman, Bonnie. Math-alive! using original sources to teach mathematics in social context . PRIMUS. 1998, 8 (March): 1–14. doi:10.1080/10511979808965879 The diagram clinched it for me: there two curves labeled "Logistique" and "Logarithmique" are drawn on the same axes, and one can see that there is a region where they match almost exactly, and then diverge. Garnett P. Williams Chaos Theory Tamed chapter 10
Edgar Peters Chaos and Order in the Capital Market p7
Villalobos-Arias, Mario. Using generalized logistics regression to forecast population infected by Covid-19. 2020. arXiv:2004.02406 q-bio.PE ]. Bod, Hay, Jennedy (eds.) 2003, pp. 147–156
![{\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29479f9d2bb480d1bf104fc0d84fcbaf00cf99f6)
