换元积分法

换元积分法，又称变数变换法（英语：Integration by substitution），是求积分的一种方法，由链式法则和微积分基本定理推导而来。

第一类换元法

设${\displaystyle f(x)\ }$为可积函数，${\displaystyle g=g(x)\ }$为连续可导函数，则有：

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(g)g'\mathrm {d} x=\int _{g(\alpha )}^{g(\beta )}f(g)\mathrm {d} g}$

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

第二类换元法

设${\displaystyle f(x)\ }$为可积函数，${\displaystyle x=x(g)\ }$为连续可导函数，则有：

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x=\int _{x^{-1}(\alpha )}^{x^{-1}(\beta )}f(x(g))x'\mathrm {d} g}$

在遇到类似${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$和${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$的式子时，通常采取分别令${\displaystyle x=\pm a\sec t}$、${\displaystyle x=\pm a\tan t}$或${\displaystyle x=\pm a\sin t}$进行换元^[1]，得到关于${\displaystyle t}$的一个原函数。如果要计算不定积分，则再由${\displaystyle x}$与${\displaystyle t}$的关系还原即可；如果要计算定积分，只需在变换后的积分限${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$下计算相应的定积分即可。

例子

计算积分${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx}$。

引入另外一个变数

设 ${\displaystyle u=x^{2}+1}$, 则 ${\displaystyle du=2xdx}$
当 ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle u=1}$
当 ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle u=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}{\underbrace {\cos({{x}^{2}}+1)} _{\cos u}\cdot \underbrace {2xdx} _{du}}\\&={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\left[\sin u\right]_{1}^{5}\\&={\frac {1}{2}}(\sin 5-\sin 1)\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle dx}$ 换元为 ${\displaystyle du}$ 后，${\displaystyle \int _{0}^{2}}$ 亦变为 ${\displaystyle \int _{1}^{5}}$，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围，而不是 g(x) 的取值范围。

不引入另外一个变数

${\displaystyle {\begin{matrix}\because &\displaystyle {{\frac {d}{dx}}({{x}^{2}}+1)=2x}\\\therefore &d({{x}^{2}}+1)=2xdx\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}{\cos({{x}^{2}}+1)\cdot 2xdx}\\&={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(x^{2}+1)\,d(x^{2}+1)\\&={\frac {1}{2}}\left[\sin(x^{2}+1)\right]_{1}^{5}\\&={\frac {1}{2}}(\sin 5-\sin 1)\end{aligned}}}$

注释

1. 换元的过程需要注意指明新变量的取值范围。

参见

• 分部积分法