标准差

标准差，又称标准偏差、均方差 （英语：standard deviation，缩写SD，符号σ），在概率统计中最常使用作为测量一组数值的离散程度之用。标准差定义：为方差开算术平方根，反映组内个体间的离散程度；标准差与期望值之比为标准离差率。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：

1. 为非负数值（因为平方后再做平方根）；
2. 与测量资料具有相同单位（这样才能比对）。

  “均方差”重定向至此。关于均方误差（MSE），详见“均方误差”；关于均方根误差（RMSE），详见“均方根误差”。

提示：此条目的主题不是标准误差。

图中红蓝两组数据平均值相同，但标准差不同。红色数据的标准差较蓝色数据的标准差要小。

一个总量的标准差或一个随机变数的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。其公式如下所列。

标准差的概念由卡尔·皮尔森引入到统计中。

阐述及应用

简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

表述“相差${\displaystyle k}$个标准差”，即在 ${\displaystyle {\overline {X}}\pm kS}$ 的样本（sample）范围内考量。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。

母体的标准差

基本定义

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$

${\displaystyle \mu }$为平均值。

简化计算公式

上述公式可以如下代换而简化：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}^{2}-2X_{i}\mu +\mu ^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-\left(2\mu \sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2\mu (N\mu )+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2N\mu ^{2}+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-N\mu ^{2}\end{aligned}}}$

所以：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{N}}N\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}}{N}}-\mu ^{2}}}\end{aligned}}}$

根号里面，亦即变异数（${\displaystyle \sigma ^{2}}$）的简易口诀为：“平方的平均”减去“平均的平方”。

母体为随机变量

一随机变量${\displaystyle X}$的标准差定义为：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}}$

须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望值。 如果随机变量${\displaystyle X}$为${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$具有相同机率，则可用上述公式计算标准差。

离散随机变量的标准差

若${\displaystyle X}$是由实数${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$构成的离散随机变数（英语：discrete random variable），且每个值的机率相等，则${\displaystyle X}$的标准差定义为：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}}}$　，其中　${\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})}$

换成用${\displaystyle \sum }$来写，就成为：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$　，其中　${\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})}$

目前为止，与母体标准差的基本公式一致。

然而若每个${\displaystyle x_{i}}$可以有不同机率${\displaystyle p_{i}}$，则${\displaystyle X}$的标准差定义为：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$　，其中　${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.}$

这里，${\displaystyle \mu }$为${\displaystyle X}$的数学期望。

连续随机变量的标准差

若${\displaystyle X}$为概率密度${\displaystyle p(X)}$的连续随机变量（英语：continuous random variable），则${\displaystyle X}$的标准差定义为：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx}}}$

其中${\displaystyle \mu }$为${\displaystyle X}$的数学期望：

${\displaystyle \mu =\int x\,f(x)\,dx}$

标准差的特殊性质

对于常数${\displaystyle c}$和随机变量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$：

${\displaystyle \sigma (X+c)=\sigma (X)}$

${\displaystyle \sigma (cX)=c\cdot \sigma (X)}$

${\displaystyle \sigma (X+Y)={\sqrt {\sigma ^{2}(X)+\sigma ^{2}(Y)+2\cdot {\mbox{cov}}(X,Y)}}}$

其中：

• ${\displaystyle {\mbox{cov}}(X,Y)}$表示随机变量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的协方差。
• ${\displaystyle \sigma ^{2}(X)}$表示${\displaystyle [\sigma (X)]^{2}}$，即${\displaystyle Var(X)}$（${\displaystyle X}$的变异数），对${\displaystyle Y}$亦同。

样本的标准差

在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差并不实际。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

从一大组数值${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{N}}$当中取出一样本数值组合${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}:n<N}$，常定义其样本标准差：

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

样本方差${\displaystyle s^{2}}$是对总体方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$的无偏估计。之所以${\displaystyle s}$中的分母要用${\displaystyle n-1}$而不是像总体样本差那样用${\displaystyle n}$，是因为${\displaystyle \left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}$的自由度为${\displaystyle n-1}$，这是由于存在约束条件${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0}$。

范例

这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为{5, 6, 8, 9}：

• 第一步，计算平均值${\displaystyle {\overline {x}}}$︰

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$

当${\displaystyle {\begin{smallmatrix}N=4\end{smallmatrix}}}$（因为集合里有4个数），分别设为：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=5,\\x_{2}&=6,\\x_{3}&=8,\\x_{4}&=9,\end{aligned}}}$

则平均值为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}x_{i}&(N=4)\\&={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)\\&=7.\end{aligned}}}$

• 第二步，计算标准差${\displaystyle \sigma \,}$︰

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}&(N=4)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}&({\overline {x}}=7)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(x_{1}-7)^{2}+(x_{2}-7)^{2}+(x_{3}-7)^{2}+(x_{4}-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}\\&={\sqrt {\frac {10}{4}}}\\&\approx 1.58114\,.\end{aligned}}}$

常态分布的规则

主条目：常态分布

深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围，在常态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%；两个标准差之内（深蓝，蓝）的比率合起来为95%；三个标准差之内（深蓝，蓝，浅蓝）的比率合起来为99.7%。

在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于常态分布的机率分布。若其假设正确，则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”。

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$

${\displaystyle {\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle {\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$.^[1]

Percentage within(z)

z(Percentage within)

数字比率 标准差值	机率	包含之外比例
	百分比	百分比	比例
0.318 639σ	25%	75%	3 / 4
6999674490000000000♠0.674490σ	7001500000000000000♠50%	7001500000000000000♠50%	1 / 7000200000000000000♠2
6999994458000000000♠0.994458σ	68%	32%	1 / 3.125
1σ	7001682689492000000♠68.2689492%	7001317310508000000♠31.7310508%	1 / 7000315148720000000♠3.1514872
7000128155200000000♠1.281552σ	80%	20%	1 / 5
7000164485400000000♠1.644854σ	90%	10%	1 / 10
7000195996400000000♠1.959964σ	95%	5%	1 / 20
2σ	7001954499736000000♠95.4499736%	7000455002640000000♠4.5500264%	1 / 7001219778950000000♠21.977895
7000257582900000000♠2.575829σ	99%	1%	1 / 100
3σ	7001997300204000000♠99.7300204%	6999269979600000000♠0.2699796%	1 / 370.398
7000329052700000000♠3.290527σ	99.9%	0.1%	1 / 7003100000000000000♠1000
7000389059200000000♠3.890592σ	99.99%	0.01%	1 / 7004100000000000000♠10000
4σ	7001999936660000000♠99.993666%	6997633400000000000♠0.006334%	1 / 7004157870000000000♠15787
7000441717300000000♠4.417173σ	99.999%	0.001%	1 / 7005100000000000000♠100000
7000450000000000000♠4.5σ	99.9993204653751%	0.0006795346249%	1 / 7005147159535800000♠147159.5358 3.4 / 7006100000000000000♠1000000 (每一边)
7000489163800000000♠4.891638σ	7001999999000000000♠99.9999%	6996100000000000000♠0.0001%	1 / 7006100000000000000♠1000000
5σ	7001999999426697000♠99.9999426697%	6995573303000000000♠0.0000573303%	1 / 7006174427800000000♠1744278
7000532672399999999♠5.326724σ	7001999999900000000♠99.99999%	6995100000000000000♠0.00001%	1 / 7007100000000000000♠10000000
7000573072900000000♠5.730729σ	7001999999990000000♠99.999999%	6994100000000000000♠0.000001%	1 / 7008100000000000000♠100000000
7000600000000000000♠6σ	7001999999998027000♠99.9999998027%	6993197300000000000♠0.0000001973%	1 / 7008506797346000000♠506797346
7000610941000000000♠6.109410σ	7001999999999000000♠99.9999999%	6993100000000000000♠0.0000001%	1 / 7009100000000000000♠1000000000
7000646695100000000♠6.466951σ	7001999999999900000♠99.99999999%	6992100000000000000♠0.00000001%	1 / 7010100000000000000♠10000000000
7000680650200000000♠6.806502σ	7001999999999990000♠99.999999999%	6991100000000000000♠0.000000001%	1 / 7011100000000000000♠100000000000
7σ	99.9999999997440%	6990256000000000000♠0.000000000256%	1 / 7011390682215445000♠390682215445

标准差与平均值之间的关系

一组数据的平均值及标准差常常同时作为参考的依据。从某种意义上说，如果用平均值来考量数值的中心的话，则标准差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。较确切的叙述为：设${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{N}}$为实数，定义函数：

${\displaystyle \sigma (\mu )={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$

使用微积分或者通过配方法，不难算出${\displaystyle \sigma (\mu )}$在下面情况下具有唯一最小值：

${\displaystyle \mu ={\overline {x}}}$

几何学解释

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从${\displaystyle n}$维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$。它们可以在3维空间中确定一个点${\displaystyle P=(X_{1},X_{2},X_{3})}$。想像一条通过原点的直线${\displaystyle L={(r,r,r):r\in \mathbb {R} }}$。如果这组数据中的3个值都相等，则点${\displaystyle P}$就是直线${\displaystyle L}$上的一个点，${\displaystyle P}$到${\displaystyle L}$的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点${\displaystyle P}$作垂线${\displaystyle PR}$垂直于${\displaystyle L}$，${\displaystyle PR}$交${\displaystyle L}$于点${\displaystyle R}$，则${\displaystyle R}$的坐标为这3个值的平均数：

${\displaystyle R=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})}$

运用一些代数知识，不难发现点${\displaystyle P}$与点${\displaystyle R}$之间的距离（也就是点${\displaystyle P}$到直线${\displaystyle L}$的距离）是${\displaystyle \sigma {\sqrt {3}}}$。在${\displaystyle n}$维空间中，这个规律同样适用，把${\displaystyle 3}$换成${\displaystyle n}$就可以了。

参考文献

1. Eric W. Weisstein. Distribution Function. MathWorld—A Wolfram Web Resource. [2014-09-30]. （原始内容存档于2021-04-02）.

外部链接

• Standard Deviation Calculator，标准差计算器 （英文）