68–95–99.7法则

在统计上，68–95–99.7法则（68–95–99.7 rule）是在正态分布中，距平均值小于一个标准差、二个标准差、三个标准差以内的百分比，更精确的数字是68.27%、95.45%及99.73%。若用数学用语表示，其算式如下，其中X为常态分布随机变数的观测值，μ为分布的平均值，而σ为标准差：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 0.682689492137086\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 0.954499736103642\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 0.997300203936740\end{aligned}}}$

正态分布下，和平均值偏离一个标准差以内的数据会占68.27%，偏离二个标准差以内的数据会到95.45%，偏离三个标准差以内的数据会到99.73%。

x轴为标准分数，y轴是比标准分数接近平均值之内的比例。y轴是对数长度

在实验科学中有对应正态分布的三西格马法则（three-sigma rule of thumb），是一个简单的推论，内容是“几乎所有”的值都在平均值正负三个标准差的范围内，也就是在实验上可以将99.7%的机率视为“几乎一定”^[1]。不过上述推论是否有效，会视探讨领域中“显著”的定义而定，在不同领域，“显著”（significant）的定义也随著不同，例如在社会科学中，若置信区间是在正负二个标准差（95%）的范围，即可视为显著。但是在粒子物理中，若是发现（英语：Discovery (observation)）新的粒子，置信区间要到正负五个标准差（99.99994%）的程度。

在不是正态分布的情形下，也有另一个对应的三西格马法则（three-sigma rule），即使是在非正态分布的情形下，至少会有88.8%的机率会在正负三个标准差的范围内，这是依照切比雪夫不等式的结果。若是单模分布（unimodal distributions）下，正负三个标准差内的机率至少有95%，若一些符合特定条件的分布，机率至少会到98%^[2]。

数值表

由于正态分布含有指数项的特性，超出某个标准差范围的概率会随着该范围的扩大而大幅减小。假如某实验每天进行一次，则实验结果超出某标准差范围的频率可列为下表：

范围	范围内样本的预期比例	范围外样本的预期比例（近似）	若每天实验一次，范围外样本的发生频率
μ ± 0.5σ	0.382924922548026	3/5	每周4-5次
μ ± σ	0.682689492137086[3]	1/3	每周2次
μ ± 1.5σ	0.866385597462284	2/15	每1周
μ ± 2σ	0.954499736103642[4]	1/22	每3周
μ ± 2.5σ	0.987580669348448	1/81	每3个月
μ ± 3σ	0.997300203936740[5]	1/370	每1年
μ ± 3.5σ	0.999534741841929	1/2149	每6年
μ ± 4σ	0.999936657516334	1/15787	每43年（约一生两次）
μ ± 4.5σ	0.999993204653751	1/147160	每403年（近代以来仅1次）
μ ± 5σ	0.999999426696856	1/1744278	每7003477600000000000♠4776年（人类记录历史以来仅1次）
μ ± 5.5σ	0.999999962020875	1/26330254	每7004720900000000000♠72090年（智人出现以来仅4次）
μ ± 6σ	0.999999998026825	1/506797346	每138万年（直立人出现以来仅1-2次）
μ ± 6.5σ	0.999999999919680	1/12450197393	每3400万年（恐龙灭绝以来仅2次）
μ ± 7σ	0.999999999997440	1/390682215445	每10.7亿年（地球诞生以来仅4次）
μ ± xσ	${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}}$	每${\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}}$天

参考文献

1. “三西格马法则”的用法大约是在公元2000年代时出现，有刊载在Schaum's Outline of Business Statistics. McGraw Hill Professional. 2003: 359及Grafarend, Erik W. Linear and Nonlinear Models: Fixed Effects, Random Effects, and Mixed Models. Walter de Gruyter. 2006: 553.上
2. See:

   • Wheeler, D. J.; Chambers, D. S. Understanding Statistical Process Control. SPC Press. 1992.
   • Czitrom, Veronica; Spagon, Patrick D. Statistical Case Studies for Industrial Process Improvement. SIAM. 1997: 342.
   • Pukelsheim, F. The Three Sigma Rule. American Statistician. 1994, 48: 88–91.
3. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A178647. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
4. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A110894. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
5. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A270712. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

参见

• 统计学主题

• P值
• 西格玛等级
• 标准分数
• t-统计（英语：t-statistic）