三段论

三段论在传统逻辑中，是在其中一个命题（结论）必然地从另外两个命题（叫做前提）中得出的一种推论。这个定义是传统的，可以宽松地从亚里士多德的《前分析（英语：Prior Analytics）》Book I, c. 1中推出来。希腊语“sullogismos”的意思是“演绎”。对传统意义上的三段论的详细描述参见直言三段论。^[1]

三段论由三个部分组成：大前提、小前提和结论。逻辑上，结论是于小前提之上应用大前提得到的。大前提是一般性的原则，小前提是一个特殊陈述。

正式定义

在数理逻辑里，三段论证可以能代表：(若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 都为合式公式)

${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}},\,{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {C}}}$

也就是一个元定理，事实上是演绎定理的直截结果。

但另一方面，若

${\displaystyle {\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$

成立，则也会被称为以 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 为前提，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为结论的三段论证。

范例

亚里士多德给出的经典的“Barbara”三段论：^[2]

如果所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：${\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]}$

并且所有希腊人（G）都是人（M），（小前提）：${\displaystyle \forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]}$

那么所有希腊人（G）都是必死的（D）。（结论）：${\displaystyle \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]}$

严谨地说，这段论证宣称

${\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)],\,\forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]\vdash \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]}$

这个论证会正确，是基于

${\displaystyle \forall x{\mathcal {A}}\vdash {\mathcal {A}}}$

和

${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}},\,{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {C}}}$

还有普遍化：（若变数${\displaystyle x}$在${\displaystyle \Gamma }$里的所有合式公式中，都不自由）

若 ${\displaystyle \Gamma \vdash {\mathcal {A}}}$ ，那就会有 ${\displaystyle \Gamma \vdash \forall x{\mathcal {A}}}$

另一方面，含常数符号(特殊个体)的例子如

所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：${\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]}$

苏格拉底（S）是人（M），（小前提）：${\displaystyle M(S)}$

苏格拉底是必死的。（结论）：${\displaystyle D(S)}$

上面的例子也可以抽换成

(所有)金属可以导电，（大前提）

铜是金属，（小前提）

铜可以导电。（结论）

有效性

与之相对的是隐喻，它组织叫做肯定后件的一种形式的三段论，是逻辑谬论：

草（P）会死（M）.

人（S）会死（M）.

人（S）是草（P）.

Barbara三段论涉及文法和逻辑类型；它有一个主词（比如苏格拉底）和一个谓词（必死的）。肯定后件，是隐喻的基础。这种形式的三段论是逻辑上无效的。

三段论也可以是无效的，如果它们有四个项或者中项不周延。

归纳论证（epagoge）是依赖于归纳推理的弱三段论。

24论式图示

下表以文氏图展示24个有效直言三段论，不同栏表示不同的前提，不同外框颜色表示不同的结论，需要存在性预设的推理以虚线与斜体字标示。

格	A ∧ A		A ∧ E				A ∧ I		A ∧ O		E ∧ I
	AAA	AAI	AEE	AEO	EAE	EAO	AII	IAI	AOO	OAO	EIO
1	Barbara	Barbari			Celarent	Celaront	Darii				Ferio
2			Camestres	Camestros	Cesare	Cesaro			Baroco		Festino
3		Darapti				Felapton	Datisi	Disamis		Bocardo	Ferison
4		Bamalip	Calemes	Calemos		Fesapo		Dimatis			Fresison

参见

• 文氏图