P进赋值

在数论上，一个整数n的p进赋值指的是能除尽n的质数p的最高次方，一般记做${\displaystyle \nu _{p}(n)}$。一个等价的定义是，${\displaystyle \nu _{p}(n)}$是n的质因数分解中p的次方数。

p进赋值是一个赋值，且其赋值可作为常规绝对值的类比。就如常规绝对值是有理数在实数${\displaystyle \mathbb {R} }$中的完备化一般，p进绝对值是有理数在P进数${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.^[1]

自然数在2进赋值中的分布，并加上十进位中的2的次方做标签；0的赋值为无限。

定义与性质

以下假定p为质数。

整数

整数n的p进赋值定义如下：

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

其中${\displaystyle \mathbb {N} }$是自然数的集合，而${\displaystyle m\mid n}$代表${\displaystyle n}$可被${\displaystyle m}$整除。特别地，${\displaystyle \nu _{p}}$的定义域及值域如次：${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$.^[2]

像例如说，${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$, ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$，而${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$ since ${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$。

${\displaystyle p^{k}\parallel n}$这符号有时用以表示${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$。^[3]

若${\displaystyle n}$是一个正整数，那么有

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$

而这可由${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$直接推得。

有理数

p进赋值可以下述函数的形式延伸到有理数上：

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^[4][5]

其定义如下：

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s)}$

像例如说，${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$且${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$，而这是因为${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$之故。

有理数上的赋值其中一些性质如下：

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

此外，若${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$，那么

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

其中${\displaystyle \min }$是最小值（也就是两者中较小者）。

p进绝对值

有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$的p进绝对值定义如下：

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

而其定义为

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

因此对所有的${\displaystyle p}$而言，${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$；而一个p进绝对值的例子如次：${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ and ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8}$

p进绝对值满足下列性质：

非负性	${\displaystyle |r|_{p}\geq 0}$
正定性	${\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}$
积性	${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$
非阿基米德性	${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

由积性${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$可知，对于单位根${\displaystyle 1}$和${\displaystyle -1}$而言，${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$，因此这表示说${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}}$；而次可加性${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$可由非阿基米德三角不等式${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$得出。

对${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$这个幂的基底p的选取不会影响其性质；然而有以下的性质：

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

其中此乘积遍历所有的质数p及常规绝对值，而此处常规绝对值记做${\displaystyle |r|_{0}}$。

这项可由质因数分解得出：质因数的幂${\displaystyle p^{k}}$会成为相对应的p进绝对值的倒数；而将之乘以常规绝对值后，这些倒数项会被消去。

一些人可能会将p进绝对值给称为“p进范数”；^{[来源请求]}然而因其不满足齐次性之故，因此并非真正的范数。

一个度量空间可用如下（非阿基米德且平移对称（英语：Translational symmetry）的）度量由${\displaystyle \mathbb {Q} }$生成：

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

其定义为

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

以此度量对有理数${\displaystyle \mathbb {Q} }$所做的完备化即p进数的集合${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。

参见

• p进数
• 阿基米德公理
• 重复度
• 奥斯特洛夫斯基定理
• 勒让德定理

参考资料

1. 中的完备化。Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. Wiley. 2003: 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
2. Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000: 3.
3. Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. An Introduction to the Theory of Numbers 5th. John Wiley & Sons. 1991: 4. ISBN 0-471-62546-9.
4. 再延伸的数线上，这带有一般的序关系，也就是说

   ${\displaystyle \infty >n}$,

   及算术关系

   ${\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }$

5. Khrennikov, A.; Nilsson, M. p-adic Deterministic and Random Dynamics. Kluwer Academic Publishers. 2004: 9.