钝角三角形是其中一角为钝角的三角形,其余两角均小于90°。
有一个角是直角(90°)的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为“直角边”(cathetus),直角所对的边是“斜边”(hypotenuse);或最长的边称为“弦”,底部的一边称作“勾”(又作“句”),另一边称为“股”。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积(ch=ab)
等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三个内角相等,均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是
,则其面积公式为
。
等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。
对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC,∠B的对边就是AC,∠C的对边就是AB。
对边测量是全站仪的一种专项测量功能,它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活,操作简单,但它的测量精度没有标注,需要通过计算求得。
等腰直角三角形只有一种形状,其中两个角为45度。
等腰三角形是三条边中有两条边相等(或是其中两只内角相等)的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为“腰”,而另一条边被称为“底边”,两条腰交叉组成的那个点被称为“顶点”,它们组成的角被称为“顶角”。
等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
令其底边是
,腰是
,则其面积公式为
等腰三角形的对应高,角平分线和中线重合。
退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形:三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三边其中一条边的长度为0;一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形,这是由于它介乎于三角不等式之间,在一些资料中已否定了其中一条边等于其馀两条边之和的情况。
勒洛三角形(英语:Reuleaux triangle),也译作莱洛三角形或弧三角形,又被称为划粉形或曲边三角形,是除了圆形以外,最简单易懂的勒洛多边形,一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间,使之与这两平行线相切,则可以做到:无论这个曲线图如何运动,只要它还是在这两条平行线内,就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师弗朗茨·勒洛命名。
- 三角边长不等式
- 三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等,则是退化三角形。
- 三角内外角不等式
- 三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。
- 三角形外角
- 三角形两内角之和,等于第三角的外角。
- 三角形内角和
- 在欧几里德平面内,三角形的内角和等于180°。
设
为三角形外接圆半径,则
![{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f987b7852fd94c08935e5ff94e2512e50af5f2c5)
三角形具有稳定性,若二个三角形有以下的边角关系确定后,它的形状、大小就不会改变,二个三角形即为全等三角形。全等三角形的判断准则有以下几种:
- SSS(Side-Side-Side,边、边、边):各三角形的三条边的长度都对应地相等。
- SAS(Side-Angle-Side,边、角、边):各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹著的角都对应地相等。
- ASA(Angle-Side-Angle,角、边、角):各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹著的边都对应地相等。
- RHS(Right Angle-Hypotenuse-Side,直角、斜边、边):在直角三角形中,斜边及另外一条直角边对应地相等。[1]
- AAS(Angle-Angle-Side,角、角、边):各三角形的其中两个角都对应地相等,且其中一组对应角的对边也对应地相等。
SSA(Side-Side-Angle、边、边、角)不能保证两个三角形全等,除非该角大于等于90°,此时可以保证全等。[2]:34[3]
- AA(Angle-Angle,角、角):各三角形的其中两个角的都对应地相等。(或称AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角))
- 三边成比例(3 sides proportional):各三角形的三条边的长度都成同一比例。
- 两边成比例且夹角相等(ratio of 2 sides, inc.∠):各三角形的两条边之长度都成同一比例,且两条边之夹角都对应地相等。(或称 2 sides proportional, inc. ∠ equal)
三角形中有著一些特殊线段,是三角形研究的重要对象。
- 中线(median):三角形一边中点与这边所对顶点的连线段。
- 高线(altitude):从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
- 角平分线(angle bisector):平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
- 垂直平分线(perpendicular bisector):通过三角形一边中点与该边所垂直的线段,又称中垂线。
以上特殊线段,每个三角形均有三条,且三线共点。
三角形的内心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)称为三角形的四心,定义如下:
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关于三角形的四心,有这样的一首诗:
“
|
内心全靠角平分,
外心中点垂线伸,
垂心垂直画三高,
形心角连线中心。
|
”
|
垂心(蓝)、形心(黄)和外心(绿)能连成一线,且成比例1:2,称为欧拉线,与九点圆的圆心(红)四点共线,为垂心和形心线段的中点。
连同以下的旁心,合称为三角形的五心:
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三角形的面积
是底边
与高
乘积的一半,即:
,
其中的高是指底边与对角的垂直距离。
证明
三角形的面积可表示为一长方形面积的一半。
从右图可知,将两个全等三角形相拼,可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补,正好能得到一个面积等于
的长方形。因此原来的三角形面积为
。
证毕。
设
为已知的两边,
为该两边的夹角,则三角形面积是:
。
证明
三角形的高h能以正弦的定义表示。
观察右图,根据正弦的定义:
。
因此:
。
将此式代入基本公式,可得:
。
证毕。
海伦公式,其表示形式为:
,
其中
等于三角形的半周长,即:
![{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787a98dac5681f383514fc1bd5b4d8e561a3fd21)
秦九韶亦求过类似的公式,称为三斜求积法:
![{\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f2fbc21365f1afa144d659370d9cb5869a12be)
也有用幂和来表示的公式:
[注 1]
证明
将海伦公式略为变形,知
![{\displaystyle 16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7253baad63f0b4d87117038d3c2aa440ea007206)
多次使用平方差公式,得
![{\displaystyle {\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a06b2e97f507877bd44020043ee18f60e83f3f)
等号两边开根号,再同除以4,得
![{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4234ddf7f97eb7394ecb150e8030dd95868606)
亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:
![{\displaystyle 16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf94300b6f412e7652d0c4329d00d7b784e1470)
基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定,有一个变化的计法。设
,三角形面积为:
。
由
、
及
三个顶点构成的三角形,其面积可用行列式的绝对值表示:
![{\displaystyle A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010856407e2e08312cfd0eb270714b28536b6712)
证明
无论三角形的顶点位置如何,该三角形总可以用一个直角梯形(或矩形)和两个直角三角形面积的和差来表示,而在直角坐标系中,已知直角梯形(或矩形)和直角三角形的顶点的坐标,该三角形的面积容易求出,即用上述的行列式表示。
若三个顶点设在三维坐标系上,即由
、
及
三个顶点构成三角形,其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和,即:
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651cdec4d8a0c0b328ae81a70989f07196ea1439)
设从一角出发,引出两边的向量为
及
,三角形的面积为:
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994f9b713e687ba25a9a1ad89720dff52cb86974)
证明
根据向量积定义,
,
其中
是两支向量的夹角。
因此:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma =A}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1367f9607fea51daa7e7ce079224ff60539ab770)
证毕。
在三角形
中,三个角的半角的正切和三边有如下关系:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269c94e65d8ec7eb4b049d7e07d8ce505502eb9f)
P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25