辛拓扑和代数几何中,量子上同调环是闭辛流形的普通上同调环的推广。有“小环”和“大环”两种定义,一般来说后者更复杂,包含的信息也更多。系数环(一般是诺维科夫环)的选择也会对其结构产生重大影响。
普通上同调的上积描述了子流形如何相交,而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以“模糊”“量子”的方式相交。更确切地说,若它们通过伪全纯曲线相连接,就是相交的。计算曲线的格罗莫夫-威滕不变量在量子上积的展开式中作为系数出现。
量子上同调表达了格罗莫夫-威滕不变量的结构或模式,因此对枚举几何有重要意义,还与数学物理和镜像对称中的许多观点相关。特别是,它与辛弗洛尔同调是环同构的。
本文中X是闭辛流形,具有辛形式ω。
诺维科夫环
X的量子上同调的系数环有多种选择,通常我们会选择能编码X的第二同调信息的环,这样下面定义的量子上积就能记录X中仿全纯曲线的信息。例如,令
![{\displaystyle H_{2}(X)=H_{2}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152e2f8984331df7f1937a96bafa1efd8d1d027a)
为第二同调模其挠(torsion)。令R为任意有单位元的交换环,Λ是形式为
![{\displaystyle \lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f3c10394124fffb029b261da77a32580ebf820)
的形式幂级数的环,其中
- 系数
来自R;
为形式变量,服从关系
;
- 对每个实数C,只有有限多个ω(A)小于等于C的A具有非零系数
。
变量
的度数为
,其中
是切丛TX的第一陈类,通过选择任意与ω相配的殆复结构,可将其视为复向量丛。因此,Λ是分次环,称作ω的诺维科夫环(其他定义亦常见)。
小量子上同调
令
![{\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e3ecf37427a3d3152b70e538d5544ab95efba7)
为X模挠(torsion)的上同调。系数为Λ的小量子上同调定义为
![{\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5862d985148c2fb63054433527093124c52704)
其元素是形式为
![{\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5260cd6dcb82bd2cb1006b282d64248537a372c)
的有限和。小量子上同调是分次R模:
![{\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2715249596b0b70e3eb17318cc241e23cb6a5d2f)
普通上同调
通过
嵌入
,后者由
作为Λ模生成。
对
中任意两个纯度(pure degree)的上同调类a、b,以及
中任意的A,定义
为
的唯一元素,使得
![{\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2893e8817efda9bc5dc57be070af2f5853ee80f5)
(右式是0亏格3点格罗莫夫-威滕不变量。)接着,定义
![{\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252d13951ce81311556692a2f51fac252f3eb740)
根据线性关系,可以推广为定义良好的Λ双射
![{\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8686e256fb0d36519524eb1deeda7ca058ccd7d3)
即小量子上积(small quantum cup product)。
几何解释
类
中唯一的仿全纯曲线是常值映射,其像是点。因此
![{\displaystyle GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b2a22dac0aaaded46a75dee2111702241d81d)
即
![{\displaystyle (a*b)_{0}=a\smile b.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5eb182e1da839405059fb04d8ecf5f8c72476e)
于是量子上积包含普通上积;也就是说,这定义将普通上积推广到了非零类A。
一般来说,
的庞加莱对偶对应着通过a、b的庞加莱对偶的类A的仿全纯曲线空间。所以,普通上同调认为只有当a、b在一定的点上相遇才算做相交,而量子上同调则记录了a和b的非零相交,只要有仿全纯曲线相连接即可。诺维科夫环仅仅提供了足够大的记录系统,可以记录所有类A的相交信息。
例子
令X为具有标准辛形式(对应富比尼–施图迪度量)和复结构的复射影平面。令
为线L的庞加莱对偶,则
![{\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091a8dc6fcf93ae6f1fd913e94763f643f01b942)
唯一非零的格罗莫夫-威滕不变量是类
或
的不变量。可得
![{\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1df9476e1b112c0cbd5d30d65308676d96be9a4)
及
![{\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6dc083ea85269cbca178ec1c2282c572e919266)
其中δ是克罗内克δ函数。于是,
![{\displaystyle \ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366ec31ceda1780623296f8348fd3b3028d9b8c1)
![{\displaystyle \ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e625c1487913ba28bcf0a0fb0ca8a47a215de6db)
这时,可以方便地将
重命名为q,并使用更简单的系数环
,其中的q之度为
。则
![{\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7d62b3c1aa1e766f113735fe4b8aef7ba1e056)
小量子上积的性质
对纯度(pure degree)的a、b,
![{\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17223b63a5a782c580fca860c30e9977034478a)
且
![{\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3665d5d5cb03b65bd30f570e10ce4a1063913f2)
小量子上积满足分配律,是Λ双线性的。单位元
也是小量子同调的幺元。
小量子上积还满足结合律,这是格罗莫夫-威滕不变量的胶合定律(gluing law)的结果。这相当于,格罗莫夫-威滕势(0亏格格罗莫夫-威滕不变量的母函数)满足特定的三阶微分方程,即WDVV方程。
相交对
![{\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c7ef53c6088293faab1eb41871c50ea16a5cec)
的定义为
![{\displaystyle \left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8eb4aefd98f4e1af4b218c22f681cf9fe6f120)
(下标0表示
系数。)其满足结合律
![{\displaystyle \langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89019c4744b1b570a44de2142499445be96bd36)
杜布罗温联络
基环R是C时,可将向量空间
的均匀分次部分H看做复流形。小量子上积限制为H上良定义的交换积。在较温和的假设下,具有相交对
的H是弗罗贝尼乌斯代数。
量子上积可视作是切丛TH上的联络,称作杜布罗温联络。则,量子上积的交换性和结合性对应这个联络上的零挠率和零曲率条件。
大量子上同调
存在
的邻域U,使
和杜布罗温联络赋予U以弗罗贝尼乌斯流形的结构。
有量子上积
![{\displaystyle *_{a}:H\otimes H\to H,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/784f1b173cec51fc24e798e82db6517230d8ad75)
定义为
![{\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23490dd294bbe6d7c44cca823c9f7d321b9e12b7)
H上的积统称为大量子上同调(big quantum cohomology)。所有0亏格格罗莫夫-威滕不变量都可从中恢复;但一般来说,更简单的小量子上同调并非如此。
小量子上同调只有3点格罗莫夫-威滕不变量的信息,大量子上同调则有所有n点(n ≧ 4)格罗莫夫-威滕不变量的信息。为获得某些流形的枚举几何信息,需要用到大量子上同调。小量子上同调对应物理学中的3点相关函数,大量子上同调则对应所有n点相关函数。
参考文献
- McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1.
- Fulton, W; Pandharipande, R. Notes on stable maps and quantum cohomology. 1996. arXiv:alg-geom/9608011
.
- Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7