挠子群

在群论中，一个阿贝尔群 ${\displaystyle A}$ 的挠子群定义为

${\displaystyle A_{T}:=\{a\in A:\exists n\in \mathbb {N} ,\;na=0\}}$

换言之，即 ${\displaystyle A}$ 中的有限阶元素。根据 ${\displaystyle A}$ 的交换性可知其为子群，此群有时也记为 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (A)}$。

同理，对任一素数 ${\displaystyle p}$，可定义 ${\displaystyle p}$-挠子群：

${\displaystyle A_{T_{p}}:=\{a\in A:\exists n\in \mathbb {N} ,\;p^{n}a=0\}}$

挠子群可以表为 ${\displaystyle p}$-挠子群之直和：${\displaystyle A_{T}=\bigoplus _{p}A_{T_{p}}}$。若 ${\displaystyle A}$ 为有限群，则 ${\displaystyle A_{T_{p}}}$ 是其唯一的 ${\displaystyle p}$-西洛子群。

满足 ${\displaystyle A_{T}=A}$ 的阿贝尔群称作挠群或周期群。若满足 ${\displaystyle A_{T}=(0)}$，则称之为无挠群。${\displaystyle A/A_{T}}$ 必无挠。

对于有限生成的阿贝尔群 ${\displaystyle A}$，${\displaystyle A_{T}}$ 为其直和项，即：存在另一子群（未必唯一）${\displaystyle B\subset A}$ 使得 ${\displaystyle A=A_{T}\oplus B}$。