在数学 里,反函数 ,也称为逆函数 (英语:Inverse function ),为对一个定函数做逆运算的函数 。
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(2023年12月29日 )
函数ƒ和它的反函数ƒ–1 。由于ƒ把a 映射 到3,因此反函数ƒ–1 把3映射回到a 。
一部分函数尽管本身不可逆,但它到其定义域的某个子集上的限制 是可逆的。[ 2] 例如
f
:
R
→
[
0
,
∞
)
,
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}}
f
{\displaystyle f}
并不是单射,因
f
(
1
)
{\displaystyle f(1)}
和
f
(
−
1
)
{\displaystyle f(-1)}
均为
1
{\displaystyle 1}
。但若取其到
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
上的限制,则这一限制为双射,并拥有反函数
f
|
[
0
,
−
∞
)
−
1
(
x
)
=
x
.
{\displaystyle {f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.}
反三角函数 是限制定义域的另一个例子。正弦 、余弦 等三角函数 具有周期性,如
sin
(
x
+
2
π
)
=
sin
(
x
)
,
{\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x),}
这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数,则需要限定其定义域,如反正弦函数 通常定义为正弦函数到
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域 ,称作其主值 。
原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
原函数与其反函数的函数图像关于函数
y
=
x
{\displaystyle y=x}
的图像对称。
严格单调函数 一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
拥有反函数的函数不一定是严格单调函数,例如
y
=
x
−
3
{\displaystyle y=x^{-3}}