立方和

立方和是数学公式的一种，它属于因式分解、乘法公式及恒等式，被普遍使用。立方和是指一个立方数，加上另一个立方数，即是它们的总和。公式如下：^[1]

${\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)}$

立方和的简单图解

立方和被因式分解后，答案分别包含二项式及三项式，与立方差相同。

验证

主验证

验证此公式，可透过因式分解，首先设以下公式：

${\displaystyle a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!}$

然后代入：

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}$

透过因式分解，可得：

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

这样便可验证：${\displaystyle a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$

和立方验证

透过和立方可验证立方和的原理：

${\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}$

${\displaystyle =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!}$

那即是只要减去${\displaystyle 3x^{2}y}$及${\displaystyle 3xy^{2}}$便可得到立方和，可设：

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}$

右边的方程 ${\displaystyle =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}$

运用因式分解的方法：

${\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

这样便可验证出：${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

几何验证

图象化${\displaystyle a^{3}+b^{3}}$

透过绘立体的图像，也可验证立方和。^[2] 根据右图，设两个立方，总和为：

${\displaystyle x^{3}+y^{3}\,\!}$

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

${\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}$

要得到${\displaystyle x^{3}+y^{3}}$，可使用${\displaystyle (x+y)^{3}}$的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

• ${\displaystyle x\times y\times (x+y)}$
• ${\displaystyle x\times (x+y)\times y}$
• ${\displaystyle (x+y)\times y\times x}$

把三个部分加在一起，便得：

${\displaystyle =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!}$

${\displaystyle =3xy(x+y)\,\!}$

之后，把${\displaystyle (x+y)^{3}}$减去它，便得： ${\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}$ 上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

${\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}$

${\displaystyle (x+y)^{2}}$可透过和平方公式，得到：

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

这样便可证明${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

反验证

透过${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$也可反验证立方和。

${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

${\displaystyle =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

${\displaystyle =a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}$

${\displaystyle =a^{3}+b^{3}\,\!}$

以上计算方法亦可简化为一个表格：

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$

x)	${\displaystyle +a^{2}}$	${\displaystyle -ab}$	${\displaystyle +b^{2}}$
${\displaystyle +a}$	${\displaystyle +a^{3}}$	${\displaystyle -a^{2}b}$	${\displaystyle +ab^{2}}$
${\displaystyle +b}$	${\displaystyle +a^{2}b}$	${\displaystyle -ab^{2}}$	${\displaystyle +b^{3}}$

这样便可证明${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

立方差

立方差也可以使用立方和来验证，例如：

${\displaystyle 125u^{3}-343v^{3}\,\!}$

把两个数项都转为立方数：

${\displaystyle =(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!}$

运用负正得负，可得：

${\displaystyle =(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!}$

然后运用立方和，可得：

${\displaystyle =\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]}$

${\displaystyle =(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!}$

这个方法更可验证到立方差的公式是${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}$

两组立方和的数

有些整数可以有两个立方和组合，^[3] 而最少的，已是过千的1729。它是两组不同的立方和：

${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}\,\!}$

${\displaystyle 1729=9^{3}+10^{3}\,\!}$

下一个同样有两个立方和组合的整数是4104：

${\displaystyle 4104=9^{3}+15^{3}\,\!}$

${\displaystyle 4104=2^{3}+16^{3}\,\!}$

首十个两组立方和的数：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

参见

• 几何学
• 工程学

参考文献

1. Factorization of x^3 + y^3. Queen's College On The Web. [2018-10-16]. （原始内容存档于2021-02-06） （英语）.
2. History Dudeney Canterbury puzzles elliptic curves. [1994-11-12]. 原始内容存档于2007-08-08 （英语）. 请检查|access-date=中的日期值 (帮助)
3. The Hardy-Ramanujan Number. Jimloy.com. [2018-01-16]. （原始内容存档于2013-05-28） （英语）.