因式分解

因式分解，在这里是指多项式因式分解（英语：Polynomial Factorization^{[注 1]}），在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式^{[注 2]}的过程。在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。例如单元多项式${\displaystyle x^{2}-1^{2}}$可被因式分解为${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x-1\right)}$。又如二元多项式${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$因式分解为${\displaystyle \left(x+y\right)\left(x-y\right)}$。如果我们允许多项式系数从整数扩大到复整数，那么${\displaystyle x^{2}+1^{2}}$可被因式分解为${\displaystyle \left(x+i\right)\left(x-i\right)}$。通常分解获得的每个因式要是不可约多项式（irreducible）。也就是不能再分解了。

多项式${\displaystyle x^{2}+cx+d}$可因式分解成${\displaystyle \left(x+a\right)\left(x+b\right)}$，其中：${\displaystyle ab=d,a+b=c}$。

定义

数域${\displaystyle P}$上每个高于一次的多项式${\displaystyle f(x)}$都可以分解为该数域P上的多个不可约多项式${\displaystyle p_{i}(x)}$的乘积，为因式分解。

在复数域上，每个不可约多项式都是一次的，因此高于一次的复系数多项式，都可以唯一地分解为多个一次式之积。

在实数域上，不可约的多项式都是一次或二次的，因此高于一次的实系数多项式，都可以唯一地分解为一次、二次多项式之积。

在有理数域上，不可约多项式可以有任何次。例如，在有理数范围内，当${\displaystyle n}$为正整数时，关于${\displaystyle x}$的多项式${\displaystyle x^{n}+2}$无法再分解^[1]。

因式分解定理

数域F上每个次数${\displaystyle \geq 1}$的多项式${\displaystyle f(x)}$都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式

${\displaystyle f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)p_{3}(x)\cdots p_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)\cdots q_{t}(x)}$

其中${\displaystyle p_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)}$和${\displaystyle q_{j}(x)(j=1,2,\cdots ,t)}$都是数域F上的不可约多项式，那么必有${\displaystyle s=t}$，而且可以适当排列因式的次序，使得

${\displaystyle p_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)}$,其中${\displaystyle c_{i}(i=1,2,\cdots ,s)}$是一些非零常数

分解方法

公因式分解(抽)

原则：

1. 分解必须要彻底（即分解后之因式均不能再做分解）
2. 结果最后只留下小括号
3. 结果的多项式首项为正。

在一个公式内把其公因子抽出，例子：

• ${\displaystyle 7a+98ab}$
  • 其中，${\displaystyle 7a}$是公因子。因此，因式分解后得到的答案是：${\displaystyle 7a(1+14b)}$
• ${\displaystyle 51a^{4}b^{7}+24a^{3}b^{2}+75a^{5}b^{5}}$
  • 其中，${\displaystyle 3a^{3}b^{2}}$是公因子。因此，因式分解后得到的答案是：${\displaystyle 3a^{3}b^{2}(17ab^{5}+25a^{2}b^{3}+8)}$

公式法

两个立方数之和 $${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$$

两个立方数之差 $${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$$

两个n次方数之差 $${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})}$$

两个奇数次方数之和 $${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......+b^{n-1})}$$

分组分解法

透过公式重组，然后再抽出公因数，例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}&3a^{2}b-5y+12a^{3}b^{2}-20aby\\=&(3a^{2}b+12a^{3}b^{2})-(5y+20aby)\\=&3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)\\=&(1+4ab)(3a^{2}b-5y)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&15n^{2}+2m-3n-10mn\\=&(15n^{2}-3n)+(2m-10mn)\\=&3n(5n-1)+2m(1-5n)\\=&3n(5n-1)-2m(5n-1)=&(5n-1)(3n-2m)\end{aligned}}}$

拆添项法

透过添项然后减掉，然后再抽出公因数，例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}+x^{2}+1\\=&x^{4}+x^{2}+x^{2}-x^{2}+1\\=&x^{4}+2x^{2}-x^{2}+1\\=&x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}\\=&\left(x^{2}+1\right)^{2}-x^{2}\\=&\left(x^{2}+1-x\right)\left(x^{2}+1+x\right)\\=&\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\end{aligned}}}$

或者透过分裂某项，然后再抽出公因数，例子：

${\displaystyle x^{3}-7x+6}$

其中，${\displaystyle -7x}$可以被拆成${\displaystyle -x}$和${\displaystyle -6x}$。所以，${\displaystyle x^{3}-7x+6}$可以被写成${\displaystyle x^{3}-x-6x+6}$。因此，

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{3}-7x+6\\=&x^{3}-x-6x+6\\=&\left(x^{3}-x\right)-\left(6x-6\right)\\=&x\left(x^{2}-1\right)-6\left(x-1\right)\\=&x\left(x+1\right)\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)\\=&\left[x\left(x+1\right)-6\right]\left(x-1\right)\\=&\left(x^{2}+x-6\right)\left(x-1\right)\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle +x}$可以被拆成${\displaystyle +3x}$和${\displaystyle -2x}$。所以，${\displaystyle x^{2}+x-6}$可以被写成${\displaystyle x^{2}+3x-2x-6}$。因此，

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(x^{2}+x-6\right)\left(x-1\right)\\=&\left(x^{2}+3x-2x-6\right)\left(x-1\right)\\=&\left[\left(x^{2}+3x\right)-\left(2x+6\right)\right]\left(x-1\right)\\=&\left(x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)\right)\left(x-1\right)\\=&\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)\\=&\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)\end{aligned}}}$

十字交乘法

主条目：十字交乘法

十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实际上是拆项法的一个变形，只不过用十字形矩阵来表示。

一次因式检验法

一个整系数的一元多项式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$，假如它有整系数因式${\displaystyle px+q}$，且p,q互质，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）

• ${\displaystyle p|a_{n}}$
• ${\displaystyle q|a_{0}}$

不过反过来说，即使当${\displaystyle p|a_{n}}$和${\displaystyle q|a_{0}}$都成立时，整系数多项式${\displaystyle px+q}$也不一定是整系数多项式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$的因式

另外一个看法是：

一个整系数的ｎ次多项式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$，若${\displaystyle px-q}$是f(x)之因式，且p,q互质，则：（逆叙述并不真）

• ${\displaystyle p-q|f(1)}$
• ${\displaystyle p+q|f(-1)}$

参见

• 因数分解
• 高斯整数分解
• 多项式
• 根
• 十字相乘
• 乘法公式

注释

1. 也有polynomial factorisation或factoring的用法
2. 因式即多项式。

延伸阅读

• Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
• Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co

1. 多 项 式 (PDF). 清华大学出版社. [2025-01-04].