立方数

第${\displaystyle n}$个立方数指可以写成${\displaystyle n^{3}}$的数，当中${\displaystyle n}$必为整数。立方数是边长${\displaystyle n}$的立方体的体积。作为算术用语的“立方”，表示任何数${\displaystyle n}$的三次幂，可用³（Unicode字元179）来表示。

和平方数不同，立方数可存在负数。

若将立方数概念扩展到有理数，则两个立方数的比仍然是立方数，例如， (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的立方数为其因数，则称其为无立方数因数的数。

首十二个立方数 A000578为：1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, ...（第零个是0）

虽然形状不同，每个立方数第${\displaystyle n}$个立方数同时都是第${\displaystyle n}$个六角锥数，即首${\displaystyle n}$个中心六边形数之和。

立方数和

首${\displaystyle n}$个正立方数之和为${\displaystyle \left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}}$，即第${\displaystyle n}$个三角形数的平方

每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。（华林问题）

1939年，狄克森证明只有23和239需要用9个正立方数的和来表示。

亚瑟·韦伊费列治证明只有15个整数须用8个：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 （ A018889）

的士数和士的数都指最小能表示成两个立方数之和的数，但的士数的必须为正数，士的数则无此限。（见1729）

只有一组连续三个立方数之和亦是立方数，就是3, 4, 5的立方，其和等于6的立方。

在十进制，除了1之外，仅有4个的正整数其数字立方之和等同它本身，它们为153, 370, 371, 407，他们是${\displaystyle n=3}$的自恋数。这4个三位数，亦可视为将它的数字分成三份，每份的立方之和，相似性质的整数有无限个，如165033, 221859, 336700等（ A056733）。

性质

• 除了0以外，立方数不可能是普洛尼克数。^{[注 1]}
• 除了0以外，立方数也不可能是连续若干个（至少两个）数的积。^{[注 2]}
• 除了0，1，8以外，立方数不可能是费波那契数。
• 除了1以外，立方数也不可能是卢卡斯数。
• 除了0，1以外，立方数不可能是佩尔数。
• 除了0，1以外，立方数不可能是三角形数、五角数等多边形数。
• 除了1以外，立方数不可能是中心正方形数、中心五边形数等中心多边形数。
• 除了1，8以外，立方数也不可能是乌拉姆数列出现的数。
• 除了1，226981（61的立方）以外，立方数不可能是星数。
• 除了1以外，立方数在杨辉三角形只出现二次。
• 除了0000和9999以外，立方数末4四位数不可能相同
• 立方数不可能是楔形数、半质数。
• 0以外的立方数每一位数数字相加之和，不停重复地相加到剩一位数时必定是 1, 8, 9。
• 是否在相继立方数之间存在一个素数这一命题，对1000000000000以内的数目是正确的。
• 立方数是模任何整数的三次剩馀；另外，如果某个整数是模任何整数的三次剩馀，那么它一定是立方数。
• 立方数的正因数个数一定是3的倍数加1。

涉及立方数和的问题

x 3 + y 3 + z 3 = k {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k} 的整数解

主条目：三立方数和

1. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3}$除了有4组解${\displaystyle (1,1,1),(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)}$以外，是否还有其它整数解？
2. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=33}$有整数解${\displaystyle (8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)}$^[1]
3. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=42}$有整数解${\displaystyle (-80538738812075974,80435758145817515,12602123297335631)}$^[2]
4. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=114}$是否有整数解？

其他

• 立方质数的定义为${\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$，其中${\displaystyle x=y+1}$或${\displaystyle x=y+2}$。

参见

• 平方数
• 四次方数
• 五次方数

注释

1. 因为n与(n+1)差1，所以两数互质，故若n×(n+1)为立方数，则n与(n+1)也皆为立方数，2个立方数差1，则必为0与1，因此唯一的普洛尼克数兼立方数为0=0×1。
2. 连续若干个（刚好两个）数的积是普洛尼克数。

外部链接

• http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考文献

1. Booker, Andrew R., Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, 2019 [2019-07-01], （原始内容存档 (PDF)于2021-02-14）
2. Prof. Booker. Life, the Universe, and Everything. [2019-09-07]. （原始内容存档于2020-05-11）.