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积分
计算操作 / 维基百科,自由的 encyclopedia
积分(英语:Integral)是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,
在一个实数区间
上的定积分
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可以在数值上理解为在坐标平面上,由曲线
(
),直线
,
以及
轴围成的曲边梯形的面积值[注 1]。
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的不定积分(或原函数)是指任何满足导数是函数
的函数
。一个函数
的不定积分不是唯一的:只要
是
的不定积分,那么与之相差一个常数的函数
也是
的不定积分。[注 2]
微积分基本定理是微积分学中的一条重要定理,由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独立发现。微积分基本定理将积分与微分建立联系,通过找出一个函数的原函数,即可方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具,并在自然科学和工程学中得到广泛运用。
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出,因此习惯上我们常见的积分也称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念,把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起,更高级的积分定义逐渐出现,有了对各种积分区间上的各种类型的函数的积分。[注 3]对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
对积分概念的推广来自于物理学的需要,并体现在许多重要的物理定律中,尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论,主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。