数学分支序理论中,预序集子集
的极大元(英语:maximal elements)不小于
的任何元素。极小元(minimal elements)可对偶地定义,其不大于
的任何元素。
60的因数集
,以整除关系为偏序,所成的哈斯图。红色子集
有两个极大元
、
和一个极小元
。
同时也是最小元。
极大和极小的条件比最大和最小弱。预序集的子集
的最大元需要“大于或等于”
的全体元素(最小元同样为其对偶),极大元则衹需“不小于”(例如不可比较)。若将预序集限缩至偏序集,则至多衹有一个最大元和一个最小元,但极大、极小元皆可有多于一个。[1][2]但在全序集上,最大等价于极大,最小亦等价于极小。
以集族
![{\displaystyle S:=\left\{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{2,3,5\}\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14de823bf5fb8c5431468e53b721fc83d4bf678d)
为例,其上的偏序为包含关系。当中
极小,因为不包含族中任何其他集合,反之
极大,因为不被其他集合包含。
则既非极小亦非极大,但
同时为极小、极大。相比之下,
无最大元和最小元。