完备性
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在数学及其相关领域中,一个对象具有完备性(英语:Completeness),即它不需要添加任何其他元素,这个对象也可称为完备的或完全的。更精确地,可以从多个不同的角度来描述这个定义,同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中,“完备”也有不同的含义,特别是在某些领域中,“完备化”的过程并不称为“完备化”,另有其他的表述,请参考代数闭域、紧化或哥德尔不完备定理。
- 在泛函分析中,一个拓扑向量空间
的子集
被称为是完全的,如果
的扩张在
中是稠密的。如果
是可分空间,那么也可以导出
中的任何向量都可以被写成
中元素的(有限或无限的)线性组合。更特殊地,在希尔伯特空间中(或者略一般地,在线性内积空间(inner product space)中),一组标准正交基就是一个完全而且正交的集合。
- 在序理论和相关的领域中,如格和畴(域理论)中,全序性(completeness)一般是指对于偏序集存在某个特定的上确界或下确界。值得特别注意的是,这个概念在特定的情况下也应用于完全布尔代数,完全格和完全偏序。并且一个有序域被称为完全的,如果它的任何在这个域中有上界的非空子集,都有一个在这个域中的最小上界;注意这个定义与序理论中的完全有界性(bounded complete)有细小的差别。在同构的意义下,有且仅有一个完全有序域,即实数。
- 在数理逻辑,一个理论被称为完备的,如果对于其语言中的任何一个句子
,这个理论包括且仅包括
或
。一个系统是相容的,如果不存在同时
和非
的证明。哥德尔不完备定理证明了,包含皮亚诺公理的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。
- 在证明论和相关的数理逻辑的领域中,一个形式的演算相对于一个特定的逻辑(即相对于它的语义)是完备的,如果任何由一组前提
根据语义导出的陈述
,都可以从这组前提出发利用这个演算语法地导出。形式地说,
导出
。一阶逻辑在这个意义下是完备的。特别地,所有逻辑的重言式都可以被证明。即使在经典逻辑中,这与前述的完备性是不同的(即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式)。相反的概念被称为可靠性(soundness)。
- 在计算复杂度理论中,一个问题
对于一个复杂度类
,在某个给定类型的归约下是完全的(完备 (复杂度)),如果
在
中,并且
中的任何问题利用该归约都可以化归到
。例如,NP完全问题在NP类和多项式时间和多对一归约的意义下是完全的。
此条目没有列出任何参考或来源。 (2020年7月3日) |