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奇异值
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数学中,特别是泛函分析中,作用于希尔伯特空间X、Y之间的紧算子的奇异值是自伴算子
(
表示T的伴随)的非负特征值的平方根。
奇异值是非负实数,一般按递减顺序排列()。最大的奇异值
等于T的算子范数(见极小-极大定理)。
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作用于欧氏空间的T的奇异值有简单的几何解释:单位n球在T变换下的像是椭球,其半轴长度是T的奇异值(图中提供了
的例子)。
奇异值是正规矩阵A的特征值的绝对值,由谱定理可得A的单位对角化:。因此有
。
研究的希尔伯特空间算子的大多数范数都是用奇异值定义的。例如,樊𰋀-k-范数是前k个奇异值的和,迹范数是所有奇异值的和,沙滕范数是奇异值的p次幂之和的p次根。注意每种范数都只定义在一类特殊的算子上,因此奇异值有助于算子的分类。