反函数

在数学里，反函数，也称为逆函数（英语：Inverse function），为对一个定函数做逆运算的函数。

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

定义与存在性

设${\displaystyle f}$为一函数，其定义域为${\displaystyle X}$，陪域为${\displaystyle Y}$。如果存在一函数${\displaystyle g}$，其定义域和陪域分别为${\displaystyle Y,\,X}$，并对任意${\displaystyle x\in X}$有 ${\displaystyle g(f(x))=x}$、对任意${\displaystyle y\in Y}$有${\displaystyle f(g(y))=y}$，则称${\displaystyle g}$为${\displaystyle f}$的反函数，记之为${\displaystyle f^{-1}}$。^{[注 1]}

若一函数有反函数，便称此函数可逆。一函数可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。^[1]

若${\displaystyle f}$为一实函数，还可通过水平线测试判断其是否为单射、满射或双射。

与限制的关系

一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。^[2]例如

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle f}$并不是单射，因${\displaystyle f(1)}$和${\displaystyle f(-1)}$均为${\displaystyle 1}$。但若取其到${\displaystyle [0,\infty )}$上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数

${\displaystyle {f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.}$

反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性，如

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x),}$

这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如反正弦函数通常定义为正弦函数到${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称作其主值（英语：Principal value）。

性质

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
• 原函数与其反函数的函数图像关于函数${\displaystyle y=x}$的图像对称。
• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如${\displaystyle y=x^{-3}}$

注释

1. 此种写法易与一个数的${\displaystyle -1}$次幂混淆，尤其在三角函数中，${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$表示${\displaystyle \sin(x)}$的平方，但${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$表示反正弦在${\displaystyle x}$处的值，而非${\displaystyle {\frac {1}{\sin(x)}}}$。

参考资料

1. Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. （原始内容存档于2023-12-29）.
2. Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.

另见

• 值域
• 逆关系
• 反函数定理