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在数学定义中,单射、满射和双射是指根据其定义域和陪域的关联方式所区分的三类映射。
下图对比了四种不同的情况:
一个映射称为单射(一对一)如果每个可能的像最多只有一个变量映射其上。等价的有,一个映射是单射如果它把不同值映射到不同像。一个单射映射简称单射。形式化的定义如下。
一个映射称为满射(到上)如果每个可能的像至少有一个变量映射其上,或者说陪域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下:
既是单射又是满射的映射称为双射. 映射为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。
双射映射经常被用于表明集合X和Y是等势的,即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应,则说这两个集合等势。
如果皆为有限集合,则这两个集合中之间存在一个双射,当且仅当X和Y的元素数相等。其实,在公理集合论中,元素数相同的定义被认为是个特例,一般化这个定义到无限集合需要导入基数的概念,这是一个区别各类不同大小的无限集合的方法。
对于每个映射给定定义域和陪域很重要,因为改变这些就能改变映射属于什么射。
范畴论的单态射、满态射和同构是单射、满射和双射概念的推广。在集合范畴中的单态射、满态射和同构分别对应单射、满射和双射映射。
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