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有5條邊的多邊形 来自维基百科,自由的百科全书
在几何学中,五边形是指有五条边和五个顶点的多边形,其内角和为540度。
五边形可以分为凸五边形和非凸五边形,其中非凸五边形包含了凹五边形和另一种边自我相交的五角星。最简单的五角星可借由将正五边形的对角线连起来构成。
正五边形是指五个边等长且五个角等角的五边形,其内角为108度,是一种正多边形,在施莱夫利符号中可以用来表示。
正五边形的中心角为72度,其具有五个对称轴,其旋转对称性有5个阶(72°、144°、216° 和 288°)。
边长为的正凸五边形面积可以将之分割成5个等腰三角形计算:
正五边形不能镶嵌平面,因为其内角是108°,不能整除360°。截至2015年[update],2017年5月,里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形镶嵌平面情况。[1]。
其中,是正五边形的边长。
正五边形是一个圆外切多边形,因此有内切圆。其内切圆半径与边心距相同,并且可以尤其边长来决定。
其中,为内切圆半径与边心距相同、t为正五边形边长。
里士满提出了一个构造正五边形的方法[2],并且在克伦威尔的《多面体》中被进一步讨论。[3]。
右上的图显示了里士满绘制正五边形的方法。先利用单位圆决定五边形的半径。为单位圆圆心,是圆半径的中点。是位于垂直于的另外一条半径的圆周上。作的角平分线,令为的角平分线与的交点。作过平行于的直线,令之与圆相交的交点为,则为正五边形的边长。
这条边的长度可以利用圆下方的两个直角三角形和。利用勾股定理,较大的三角形斜边为。小三角形其中一股h可由半角公式求得:
其中,角可由大三角形求得,其值为:
由此可得到在下图正五边形的边长的一些相关值。右侧三角形的边长可借由再带一次勾股定理得:
欲求出五边形边长可透过左侧的三角形,由勾股定理得:
五边形边长为:
得到了正确的结果[4]因此此种构造正五边形的方法是有效的。
正五边形可以借由尝试在一张长条纸张上打一个反手结,并将多出来的部分向后折来构造。这种折法被用在折纸星星上。
等边五边形是指五条边等长的五边形。等边五边形不一定是正五边形。由于其内角可以取自一个范围内的集合,而形成一个等边五边形的群,相比之下,正五边形由于其内角也固定了,因此是唯一的。
有两个直角的等边五边形由于外形与有屋顶的房屋形状非常相似,因此通常用作房子的符号。
五边形镶嵌是指用全等的五边形没有空隙地填满整个平面的镶嵌图形。2017年5月,里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形镶嵌平面情况[1]。
类五边形形是五边形在其他维度的类比,只存在于四维或以下的空间。这些形状都具有Hn的考克斯特群[6][7][8],其中正五边形为H2,阶数为10。
维度 | 二维 | 三维 | 四维 |
---|---|---|---|
类五边形形 | |||
对偶 |
有一些多面体由五边形构成,最常见的就是正十二面体,是一个由正五边形组成的正多面体。
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