在几何学 中，五角六十面体 是一种卡塔兰立体 [ 2] 五边形 组成的六十面体 ，并且是阿基米德立体 扭棱十二面体 的对偶多面体。[ 3] [ 4] 等面图形 ，也就是说它每个面都全等 ，但组成面不是正多边形。五角六十面体 有两种不同的形式，它们互为镜像（或“对映体”），是为手性 镜像，两种手性 镜像的面 、顶点 、边 数皆相同，共有60 个面 、150 个边 、92 个顶点 。五角六十面体是顶点数最多的卡塔兰立体。在卡塔兰立体 和阿基米德立体 中，五角六十面体的顶点数为第二多，仅次于具有120个顶点的大斜方截半二十面体 。
Quick Facts 类别, 对偶多面体 ...
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五角六十面体是一个手性多面体 [ 2] 多面体 镜射 之后会跟原本的形状不同，无法借由旋转 半周再回到原本的形状[ 5] [ 6] [ 7] 手性 镜像，且其面 、顶点 、边 数皆相同，共有60个面 、150个边 、92个顶点 [ 8] [ 6] [ 7] [ 1] :97
五角六十面体 的旋转透视图
五角六十面体 的另一个手性 镜像的旋转透视图
五角六十面体是扭棱十二面体 的对偶多面体 。事实上，五角六十面体可以不经由对偶变换 而从扭棱十二面体 构造。首先在扭棱十二面体的所有12个五边形面上加入五角锥 ，再将扭棱十二面体的所有不与五边形面相邻的20个三角形面上加入三角锥，并调整加入之锥体的锥高，使加入的锥体之侧面与其馀60个三角形面共面则形成五角六十面体，然而这种方式构造的五角六十面体会稍微有点形变。[ 9]
五角六十面体60个全等的五边形面组成，每个五边形都具有3条短边和2条长边，若令
x
{\displaystyle x}
φ
+
φ
−
5
27
2
3
+
φ
−
φ
−
5
27
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}
[ 6] [ 7]
1
x
:
x
(
2
+
7
φ
)
+
(
5
φ
−
3
)
+
2
(
8
−
3
φ
)
x
31
≈
{\displaystyle {\frac {1}{x}}:{\frac {x\left(2+7\varphi \right)+\left(5\varphi -3\right)+{\frac {2\left(8-3\varphi \right)}{x}}}{31}}\approx }
其中
φ
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
若令
ξ
≈
0.943
151
259
24
{\displaystyle \xi \approx 0.943\,151\,259\,24}
x
3
+
2
x
2
−
φ
2
{\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}}
根 ，则长边与短边的比值
l
{\displaystyle l}
l
=
1
+
ξ
2
−
ξ
2
≈
1.749
852
566
74
{\displaystyle l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74}
也就是说，若短边为单位长，则长边的长度约为1.74985单位长。
组成五角六十面体的五边形有4个相等的钝角和一个锐角（两个长边的夹角）。其中钝角的角度为
arccos
(
−
ξ
/
2
)
≈
118.136
622
758
62
∘
{\displaystyle \arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }}
[ 1] :97 ，而反馀弦内的值是多项式
64
x
6
−
128
x
5
+
64
x
4
+
24
x
3
−
24
x
2
+
1
{\displaystyle 64x^{6}-128x^{5}+64x^{4}+24x^{3}-24x^{2}+1}
[ 2]
arccos
(
−
φ
2
ξ
/
2
+
φ
)
≈
67.453
508
965
51
∘
{\displaystyle \arccos(-\varphi ^{2}\xi /2+\varphi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }}
[ 1] :97 ，而反馀弦内的值是多项式
64
x
6
−
384
x
5
+
384
x
4
+
888
x
3
+
168
x
2
−
128
x
−
31
{\displaystyle 64x^{6}-384x^{5}+384x^{4}+888x^{3}+168x^{2}-128x-31}
[ 2]
扭棱十二面体的面心不能直接作为五角六十面体的顶点，因为4个三角形的面心位于同一个平面上，但五边形的面心则否，它需要被径向推出以使其与三角形中心共面。因此，五角六十面体的顶点并不都位于同一个球面上，因此根据定义，五角六十面体不是一个环带多面体 。
若其对偶多面体的边长为单位长，则对应的五角六十面体八十个三阶顶点所在的球面之半径为：[ 6] [ 7]
3
(
x
φ
+
1
+
φ
+
1
x
)
2
≈
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3\left(x\varphi +1+\varphi +{\frac {1}{x}}\right)}}{2}}\approx }
十二个五阶顶点所在的球面之半径为：[ 6] [ 7]
x
2
(
1009
+
1067
φ
)
+
x
(
1168
+
2259
φ
)
+
(
1097
+
941
φ
)
62
≈
{\displaystyle {\frac {\sqrt {x^{2}\left(1009+1067\varphi \right)+x\left(1168+2259\varphi \right)+\left(1097+941\varphi \right)}}{62}}\approx }
五角六十面体的骰子 由于五角六十面体是一个等面多面体 ，因此可以制成骰子 。[ 11]
Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X Conway, J.H. and Burgiel, H. and Goodman-Strauss, C. The Symmetries of Things . AK Peters/CRC Recreational Mathematics Series. CRC Press. 2016 [2022-07-25 ] . ISBN 9781439864890LCCN 2007046446 存档 于2022-07-26）. (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)Fair Dice . mathpuzzle.com. [2022-07-25 ] . （原始内容存档 于2022-04-26）. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X (Section 3-9)Wenninger, Magnus Cambridge University Press , 1983, ISBN 978-0-521-54325-5MR 0730208 doi:10.1017/CBO9780511569371 
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4adb13b6f7a2a2daaf95dda9bf93df581d06487)
![{\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12c93819b3df7ab0cb91ee980bdb2d27a34e53c)
