五角六十面体
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在几何学中,五角六十面体是一种卡塔兰立体[2],为由60个不等边五边形组成的六十面体,并且是阿基米德立体扭棱十二面体的对偶多面体。[3][4]这种立体是一个等面图形,也就是说它每个面都全等,但组成面不是正多边形。五角六十面体有两种不同的形式,它们互为镜像(或“对映体”),是为手性镜像,两种手性镜像的面、顶点、边数皆相同,共有60个面、150个边、92个顶点。五角六十面体是顶点数最多的卡塔兰立体。在卡塔兰立体和阿基米德立体中,五角六十面体的顶点数为第二多,仅次于具有120个顶点的大斜方截半二十面体。
性质
五角六十面体是一个手性多面体[2],也就是说,该多面体镜射之后会跟原本的形状不同,无法借由旋转半周再回到原本的形状[5][6][7]。这两种形式互为镜像(或“对映体”),又称为手性镜像,且其面、顶点、边数皆相同,共有60个面、150个边、92个顶点[8][6][7]。在其92个顶点中,有80个顶点是三阶顶点,即3个五边形的公共顶点和12个顶点是五阶顶点,即5个五边形的公共顶点。[1]:97
![]() 五角六十面体的旋转透视图 |
![]() 五角六十面体的另一个手性镜像的旋转透视图 |
五角六十面体是扭棱十二面体的对偶多面体。事实上,五角六十面体可以不经由对偶变换而从扭棱十二面体构造。首先在扭棱十二面体的所有12个五边形面上加入五角锥,再将扭棱十二面体的所有不与五边形面相邻的20个三角形面上加入三角锥,并调整加入之锥体的锥高,使加入的锥体之侧面与其馀60个三角形面共面则形成五角六十面体,然而这种方式构造的五角六十面体会稍微有点形变。[9]
五角六十面体只有一种二面角,约为153.18度:[6][7]
- 2.67347322717678153.178732558°
五角六十面体60个全等的五边形面组成,每个五边形都具有3条短边和2条长边,若令为,则短边与长边的比为:[6][7]
- 0.582899534744982414 : 1.019988247022845898
其中为黄金比例。
若令为多项式的根,则长边与短边的比值为:
- .
也就是说,若短边为单位长,则长边的长度约为1.74985单位长。
组成五角六十面体的五边形有4个相等的钝角和一个锐角(两个长边的夹角)。其中钝角的角度为,约118度8分[1]:97,而反馀弦内的值是多项式的第一个实根[2];锐角的角度为,约67度28分[1]:97,而反馀弦内的值是多项式的第4个根[2]。
扭棱十二面体的面心不能直接作为五角六十面体的顶点,因为4个三角形的面心位于同一个平面上,但五边形的面心则否,它需要被径向推出以使其与三角形中心共面。因此,五角六十面体的顶点并不都位于同一个球面上,因此根据定义,五角六十面体不是一个环带多面体。
若其对偶多面体的边长为单位长,则对应的五角六十面体八十个三阶顶点所在的球面之半径为:[6][7]
- 2.1172098986
- 2.220000699
若要计算五角六十面体的体积和表面积,则需要将其中一个五边形面的短边表示为,并令常数为:[10]
- .
则短边长为的五角六十面体表面积(A)为:
- .
体积(V)为:
- .
使用以上这些数值,可以计算此形状的球形度量值:
用途
参见
参考文献
外部链接
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